物理 / 電場と電位

水平な電場の中で振れる振り子

★★★★ 難関一様な電場振り子見かけの重力

問題

長さ $l = 0.49 m$ の軽い絶縁体の糸の一端を点 O に固定する。糸の他端には、質量 $m = 2.0 \times 1 0^{- 3} kg$ 、電荷 $q = + 3.0 \times 1 0^{- 6} C$ の小球が結ばれている。空間には水平右向きに、強さ $E = 4.9 \times 1 0^{3} N/C$ の一様な電場がある。重力加速度を $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。

糸を鉛直にした状態。空間には水平右向きの一様な電場がある

(1) 小球が静止するとき、糸が鉛直となす角を $θ$ とする。 $tan θ$ と糸の張力を求めよ。

(2) 静止の位置から小球をわずかにずらすと、小球は静止の位置を中心に振動する。その周期を求めよ。

(3) 糸を鉛直にして小球を静かに放す。小球が最も速くなる位置と、そのときの速さを求めよ。

(4) (3)で小球が最も速くなるときの糸の張力を求めよ。

(5) (3)で、糸が鉛直となす角の最大値はいくらか。

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重力と電場による力は、どちらも大きさと向きが一定の力である。2つの合力を1つの力とみなすと、この振り子はどんな振り子と同じになるか。

解答・解説

方針

小球には重力 $m g$ と電場による力 $q E$ がはたらき、どちらも一定である。この2つの合力を「見かけの重力」とみなすと、ふつうの振り子と同じように扱える。見かけの重力の大きさは $\frac{m g}{cos θ}$ で、向きは静止の位置の糸の方向である。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 小球にはたらく重力 $m g$ と電場による力 $q E$ は、どちらも大きさと向きが一定である。2つの合力も一定の力なので、これを「見かけの重力」とみなせば、ふつうの振り子と同じ方法で扱える。

見かけの重力は、静止の位置で糸が向く方向、すなわち鉛直から $θ$ 傾いた方向を向く。振動の中心も最も速くなる位置も、この方向を基準にして考えればよい。

① 静止の位置。 重力 $m g = 1.96 \times 1 0^{- 2} N$ 、電場による力 $q E = 3.0 \times 1 0^{- 6} \times 4.9 \times 1 0^{3} = 1.47 \times 1 0^{- 2} N$ と張力 $T$ がつり合う。

$tan θ = \frac{q E}{m g} = \frac{1.47}{1.96} = 0.75$

このとき $cos θ = 0.80$ で、張力は次のとおりである。

$T = \frac{m g}{cos θ} = \frac{1.96 \times 1 0 ^{- 2}}{0.80} = 2.45 \times 1 0^{- 2} N$

静止の位置でのつり合い。重力と電場による力の合力(見かけの重力)は、糸を延長した方向を向く

② 振動の周期。 見かけの重力の大きさは $T$ と同じ $\frac{m g}{cos θ}$ で、見かけの重力加速度は $g^{'} = \frac{g}{cos θ} = 12.25 m/ s^{2}$ である。

$2 π \frac{l}{g ^{'}} = 2 π \frac{0.49}{12.25} = 2 π \times 0.20 = 0.4 π ≒ 1.3 s$

重要一定の力がいくつかはたらくときは、合力を見かけの重力とみなす。振り子の周期は

2 π \frac{l}{g ^{'}}

で、

g^{'}

は見かけの重力加速度

③ 鉛直から放したとき。 見かけの重力の方向を基準にすると、糸が鉛直のとき小球は $θ$ だけ傾いた位置にある。ふつうの振り子を角 $θ$ だけ傾けて放した場合と同じなので、最も速くなるのは見かけの最下点、すなわち静止の位置である。

鉛直の位置から静止の位置まで、見かけの重力の方向の高さの差は $l (1 - cos θ)$ である。

$\frac{1}{2} m v^{2} = m g^{'} l (1 - cos θ) ⟹ v = 2 \times 12.25 \times 0.49 \times 0.20 = 2.401 ≒ 1.55 m/s$

④ そのときの張力。 見かけの最下点では、ふつうの振り子の最下点と同じように、張力と見かけの重力の差が向心力になる。

$T^{'} - m g^{'} = \frac{m v ^{2}}{l} ⟹ T^{'} = 2.0 \times 1 0^{- 3} \times (12.25 + \frac{2.401}{0.49}) = 3.43 \times 1 0^{- 2} N$

⑤ 最大の角。 振り子は見かけの最下点の両側に同じ角だけ振れるので、糸は鉛直から $2 θ$ の位置まで振れる。 $tan θ = 0.75$ から $θ ≒ 3 7^{\circ}$ で、最大の角は約 $7 4^{\circ}$ である。

まとめ 一定の力の合力を見かけの重力とみなすと、電場の中の振り子もふつうの振り子として扱える。静止の位置が見かけの最下点で、周期・最大の速さ・張力をすべて $g^{'}$ で計算できる。

発展。 加速する電車の中のつり革や、回転する台の上の物体でも、慣性力を含めた合力を見かけの重力とみなす方法が適用できる。合力の向きが「見かけの鉛直」になる。

答

(1) $tan θ = 0.75$ 、張力 $2.45 \times 1 0^{- 2} N$ (2) $0.4 π ≒ 1.3 s$ (3) 静止の位置(糸が鉛直と $θ$ をなす位置)で、速さ約 $1.55 m/s$ (4) $3.43 \times 1 0^{- 2} N$ (5) $2 θ$ (約 $7 4^{\circ}$ )

別解

別解:電場がする仕事と重力がする仕事を別々に計算する。 鉛直の位置から静止の位置まで、小球は水平方向に $l sin θ$ だけ移動し、高さは $l (1 - cos θ)$ だけ増加する。電場による力がする仕事は $q E l sin θ$ 、重力がする仕事は $- m g l (1 - cos θ)$ である。

$\frac{1}{2} m v^{2} = q E l sin θ - m g l (1 - cos θ) = 1.47 \times 1 0^{- 2} \times 0.49 \times 0.60 - 1.96 \times 1 0^{- 2} \times 0.49 \times 0.20$

右辺は $4.32 \times 1 0^{- 3} - 1.92 \times 1 0^{- 3} = 2.40 \times 1 0^{- 3} J$ で、 $v ≒ 1.55 m/s$ となり③と一致する。見かけの重力を用いれば、この2つの仕事を1回の計算で求められる。

ポイント

一定の力の合力を見かけの重力とみなすと、ふつうの振り子として扱える
見かけの重力加速度 $g^{'} = \frac{g}{c o s θ}$ 、周期は $2 π \frac{l}{g ^{'}}$
鉛直から放すと、静止の位置で最も速くなり、 $2 θ$ まで振れる

よくある間違い

周期を $2 π \frac{l}{g}$ とする。復元力は見かけの重力によるので、 $g^{'} = \frac{g}{c o s θ}$ を用いる
鉛直の位置で最も速くなると考える。見かけの最下点は静止の位置で、そこで最も速くなる
最も速い位置での張力を $m g^{'}$ とする。円運動をしているので、向心力 $\frac{m v ^{2}}{l}$ の分だけ大きい