物理 / 電場と電位

ミリカンの実験で油滴の速さから電気素量を求める

★★★★ 難関ミリカンの実験電気素量終端速度

問題

水平に配置した2枚の極板の間隔は $d = 5.0 mm$ で、極板の間に小さな油滴がある。油滴は空気から、速さ $v$ に比例する抵抗力 $k v$ (向きは運動と反対)を受け、 $k = 1.6 \times 1 0^{- 10} N \cdot s/m$ である。油滴の速さはすぐに一定の値になるとする。重力加速度を $9.8 m/ s^{2}$ とし、浮力は無視する。

水平に配置した2枚の極板(間隔 d=5.0 mm)の間の油滴

(1) 極板の間に電圧をかけないとき、油滴は一定の速さ $2.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ で落下した。油滴の質量を求めよ。

(2) 極板の間に電圧 $500 V$ をかけると、油滴は電場から鉛直上向きの力を受け、一定の速さ $1.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ で上昇した。油滴の電荷の大きさを求めよ。

(3) 上昇の途中で油滴が空気中のイオンを捕らえ、上昇の速さが $2.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ に変化した。電荷の大きさはいくら変化したか。

(4) 電気素量を $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。電圧 $500 V$ をかけたときの油滴の上昇の速さは、電荷が $e$ 変化するごとにいくら変化するか。

(5) (3)のあとの油滴を極板の間で静止させるには、電圧をいくらにすればよいか。

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速さが一定のとき、油滴にはたらく力はどんな関係にあるか。上昇するとき、抵抗力はどちら向きか。電荷は観測した2つの速さのどんな組み合わせに比例するか。

解答・解説

方針

速さが一定のとき、油滴にはたらく力はつり合う。電場がないときは $m g = k v_{1}$ 、電場から上向きの力 $q E$ を受けて上昇するときは $q E = m g + k v_{2} = k (v_{1} + v_{2})$ である。電荷は速さの和 $v_{1} + v_{2}$ に比例するので、速さの変化から電荷の変化が求まる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 油滴は非常に小さく、速さはすぐに一定になる。速さが一定のとき油滴にはたらく力はつり合っているので、速さを測定すれば力の大きさが求まる。

抵抗力の向きは運動と反対なので、落下するときは上向き、上昇するときは下向きである。電場がないときのつり合いから重力が求まり、電場があるときのつり合いから電場による力、すなわち電荷が求まる。

① 油滴の質量。 電場がないとき、重力 $m g$ と上向きの抵抗力 $k v_{1}$ がつり合う( $v_{1} = 2.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ )。

$m g = k v_{1} = 1.6 \times 1 0^{- 10} \times 2.0 \times 1 0^{- 4} = 3.2 \times 1 0^{- 14} N$

$m = \frac{3.2 \times 1 0 ^{- 14}}{9.8} ≒ 3.3 \times 1 0^{- 15} kg$

② 電荷。 極板の間の電場は $E = \frac{500}{5.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.0 \times 1 0^{5} V/m$ である。上昇するときは、上向きの $q E$ と、下向きの重力 $m g$ と抵抗力 $k v_{2}$ がつり合う。

速さが一定のときの力のつり合い。落下するときは抵抗力が上向き、上昇するときは下向きになる

$q E = m g + k v_{2} = k (v_{1} + v_{2})$

$q = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 10} \times ( 2.0 + 1.0 ) \times 1 0 ^{- 4}}{1.0 \times 1 0 ^{5}} = 4.8 \times 1 0^{- 19} C$

重要落下の速さ

v_{1}

と上昇の速さ

v_{2}

から、電荷は

q = \frac{k ( v _{1} + v _{2} )}{E}

。電荷は

v_{1} + v_{2}

に比例する

③ 電荷の変化。 上昇の速さが $v_{3} = 2.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ のとき、同じ式から次のようになる。

$q^{'} = \frac{k ( v _{1} + v _{3} )}{E} = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 10} \times 4.0 \times 1 0 ^{- 4}}{1.0 \times 1 0 ^{5}} = 6.4 \times 1 0^{- 19} C$

電荷の大きさは $6.4 \times 1 0^{- 19} - 4.8 \times 1 0^{- 19} = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 増加した。電荷は $e$ の3倍から4倍に変化したことになる。

④ 速さの変化の刻み。 上昇の速さは $v = \frac{q E}{k} - v_{1}$ で、 $q$ が $e$ 変化すると、 $v$ は次の量だけ変化する。

$\frac{e E}{k} = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1.0 \times 1 0 ^{5}}{1.6 \times 1 0 ^{- 10}} = 1.0 \times 1 0^{- 4} m/s$

電荷が $e$ の整数倍に限られるので、観測される上昇の速さも $1.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ ごとのとびとびの値になる。

⑤ 静止させる電圧。 静止させるには $q^{'} \frac{V}{d} = m g$ となる電圧にすればよい。

$V = \frac{m g d}{q ^{'}} = \frac{3.2 \times 1 0 ^{- 14} \times 5.0 \times 1 0 ^{- 3}}{6.4 \times 1 0 ^{- 19}} = 250 V$

まとめ 速さが一定のときの力のつり合いを落下と上昇の2つの場合について立てると、電荷は2つの速さの和に比例する。速さの変化がとびとびであることから、電荷が電気素量の整数倍であることが判明する。

発展。 ミリカンは多数の油滴でこの測定をくり返し、電荷がすべてある値の整数倍になることを明らかにした。実際の実験では、落下の速さから油滴の半径と抵抗力の比例定数を求めるので、質量も速さの測定から求まる。

答

(1) $3.3 \times 1 0^{- 15} kg$ (2) $4.8 \times 1 0^{- 19} C$ (3) $1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 増加した (4) $1.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ (5) $250 V$

別解

別解:2つの上昇の速さの差だけで電荷の変化を求める。 電荷が $q$ から $q^{'}$ に変化しても、重力と比例定数 $k$ は変化しない。上昇のつり合いの式 $q E = m g + k v_{2}$ と $q^{'} E = m g + k v_{3}$ の差をとると、重力が消去される。

$(q^{'} - q) E = k (v_{3} - v_{2}) ⟹ q^{'} - q = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 10} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 4}}{1.0 \times 1 0 ^{5}} = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$

質量を求めなくても、上昇の速さの差だけで電荷の変化が求まる。速さの差が常に $1.0 \times 1 0^{- 4} m/s$ の整数倍になることを多数の測定で確認すれば、電荷がとびとびの値であることを確認できる。

ポイント

速さが一定のとき力はつり合う。抵抗力の向きは運動と反対
電荷は $q = \frac{k ( v _{1} + v _{2} )}{E}$ で、落下と上昇の速さの和に比例する
電荷が $e$ 変化すると、上昇の速さは $\frac{e E}{k}$ だけ変化する

よくある間違い

上昇するときも抵抗力を上向きとして、 $q E + k v_{2} = m g$ とする。抵抗力は運動と反対向きで、上昇するときは下向きである
上昇するときのつり合いを $q E = k v_{2}$ として、重力を考慮しない。電場があっても重力ははたらいている
電場の強さを $E = V d$ とする。一様な電場では $E = \frac{V}{d}$ である