物理基礎 / 運動の表し方

停止距離(空走距離+制動距離)

★★ 標準等加速度直線運動文章題v-tグラフ

問題

$20 m/s$ で走行中の自動車の運転手が前方の障害物に気づいた。気づいてからブレーキを踏むまでの反応時間は $0.50 s$ で、その間は $20 m/s$ のまま走る(空走)。ブレーキを踏むと、大きさ $5.0 m/ s^{2}$ の一定の加速度で減速する。

(1) 空走距離(反応時間の間に進む距離)を求めよ。

(2) 制動距離(ブレーキを踏んでから止まるまでの距離)を求めよ。

(3) 停止距離(気づいてから止まるまでの全距離)を求めよ。

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気づいてから止まるまでを 2 つの区間に分けよう。前半と後半で運動の種類がどう違うだろうか。

解答・解説

運動を「等速の区間」と「等加速度の区間」に分ける。空走は距離=速さ×時間、制動は v²−v₀²=2ax。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 現実の運動は 1 種類の式では書けないことが多い。「等速区間」と「等加速度区間」に切って、区間ごとに式を選ぶ。

この切り分けが身につくと、文章題は一気に見通しがよくなる。

① 空走距離(等速区間)。

$x_{1} = 20 \times 0.50 = 10 m$

② 制動距離(等加速度区間)。

時間が不要なので $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を使う。

$0^{2} - 2 0^{2} = 2 \times (- 5.0) \times x_{2} ⟹ x_{2} = \frac{400}{10} = 40 m$

③ 停止距離。

$10 + 40 = 50 m$

v-tグラフ。長方形(空走 10 m)+三角形(制動 40 m)=停止距離 50 m

まとめ v-tグラフでは、空走は長方形、制動は三角形。停止距離はその合計面積だ。制動距離は $x = \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ の形から速さの 2 乗に比例する。速さ 2 倍で制動距離 4 倍 — 車間距離を「速さの 2 乗」の感覚で取るべき理由がここにある。

発展 — 一歩先へ。 空走距離は速さの 1 乗、制動距離は 2 乗に比例する。だから停止距離は $x = v_{0} t_{反応} + \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ という「1 次+2 次」の式になる。実際の運転免許の教本にある停止距離の表は、ほぼこの式で再現できる。

答

(1) $10 m$ (2) $40 m$ (3) $50 m$

すべて v-tグラフの面積で押すルート(苦手な人向け)。 グラフを描くと、 $0.50 s$ までは高さ $20$ の水平線、そこから傾き $- 5.0$ で下り、 $0.50 + 4.0 = 4.5 s$ に止まる。

合計 $50 m$ 。ブレーキ時間 $4.0 s$ ( $20 \div 5.0$ )もグラフから読める。公式が思い出せないときはいつでも面積に逃げられる。