物理基礎 / 運動の表し方

自由落下と投げ上げの出会い

★★ 標準自由落下投げ上げ出会い

問題

高さ $39.2 m$ の塔の上から小球 A を静かに落とすと同時に、その真下の地面から小球 B を初速度 $19.6 m/s$ で真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 2 球が出会うのは何秒後か。

(2) 出会う点の地面からの高さを求めよ。

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共通の原点(たとえば地面)を決めて、A と B の高さをそれぞれ t の式にしよう。出会う条件は 2 つの式が等しくなること。

解答・解説

地面を原点、上向きを正として、A と B の高さをそれぞれ t の式で書く。「出会う」=高さが等しい、とおく。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 出会い問題の手順は追いつきと同じ。共通の座標系を決め、各物体の位置を式にし、等号で結ぶ。

地面を原点、上向きを正とする。A は高さ $39.2 m$ からの自由落下、B は地面からの投げ上げだ。

① 2 球の高さの式。

$y_{A} = 39.2 - \frac{1}{2} \times 9.8 t^{2} = 39.2 - 4.9 t^{2}$

$y_{B} = 19.6 t - 4.9 t^{2}$

② 出会う条件。

$y_{A} = y_{B}$ とおくと、両辺の $- 4.9 t^{2}$ が消えて

$39.2 = 19.6 t ⟹ t = 2.0 s$

③ 出会う高さ。

$y_{B} = 19.6 \times 2.0 - 4.9 \times 4.0 = 39.2 - 19.6 = 19.6 m$

2 球の高さ y [m] と時刻 t [s]。曲線の交点が出会い

まとめ $t^{2}$ の項が消えたのは偶然ではない。2 球とも同じ重力加速度で落ちるので、重力の効果は差をとると必ず相殺される。出会いの時刻は、重力がない世界で速度 $19.6 m/s$ で $39.2 m$ を詰める時間と同じになる。

答

(1) $2.0 s$ 後 (2) $19.6 m$

相対速度で一撃のルート(得意な人向け)。 A から見た B の相対速度は、はじめ $19.6 - 0 = 19.6 m/s$ (近づく向き)。両者の加速度が同じ $- g$ だから、相対速度はずっと $19.6 m/s$ で一定。

最初の間隔 $39.2 m$ を一定の速さ $19.6 m/s$ で詰めるから

$t = \frac{39.2}{19.6} = 2.0 s$

2 次の項に触れることなく答えに着く。「同じ加速度なら相対運動は等速」は出会い・すれ違い問題の万能の近道だ。