物理基礎 / 運動の表し方

斜面を上って戻る運動

★★ 標準等加速度直線運動対称性v-tグラフ

問題

なめらかな斜面の下端から、台車を斜面に沿って上向きに初速度 $8.0 m/s$ で押し出した。台車は斜面に沿って大きさ $2.0 m/ s^{2}$ の一定の加速度で減速しながら上り、やがて戻ってきた。斜面上向きを正とする。

(1) 最も高い点に達するまでの時間と、そこまで斜面に沿って進んだ距離を求めよ。

(2) 下端に戻ってくるのは押し出してから何秒後か。また、戻ってきたときの速さを求めよ。

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これは「斜面版の投げ上げ」。いちばん高い点で速度はどうなるか。戻ってきたことは x の式でどう表せるか。

解答・解説

投げ上げと同じ構造(初速度+逆向きの一定加速度)。最高点は v=0、戻りは x=0 とおく。対称性で検算できる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 上向きに押し出されて、一定の割合で減速し、止まって、戻る。構造は鉛直投げ上げとまったく同じだ( $g$ が $2.0 m/ s^{2}$ に変わっただけ)。

だから解き方も同じ。「最高点= $v = 0$ 」「戻る= $x = 0$ 」。

① 最高点まで。

$v = 8.0 - 2.0 t = 0$ より $t = 4.0 s$ 。

進んだ距離は $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ から

$0 - 8. 0^{2} = 2 \times (- 2.0) x ⟹ x = 16 m$

② 戻るまで。

$x = 8.0 t - 1.0 t^{2} = 0$ より $t (8.0 - t) = 0$ 、 $t = 8.0 s$ 後。

そのときの速度は $v = 8.0 - 2.0 \times 8.0 = - 8.0 m/s$ 。負=下向きで、速さは $8.0 m/s$ 。

v-tグラフ(斜面上向き正)。青の面積 16 m 上って、赤の面積 16 m 戻る

まとめ 行き $4.0 s$ ・帰り $4.0 s$ 、出た速さと戻る速さが同じ $8.0 m/s$ — 投げ上げで見た対称性がそのまま現れる。等加速度でさえあれば、鉛直でも斜面でも同じ物理だ。

答

(1) $4.0 s$ 後、 $16 m$ (2) $8.0 s$ 後、速さ $8.0 m/s$

対称性を先に使うルート(得意な人向け)。 等加速度運動の v-tグラフは直線だから、上がり( $8.0 \to 0$ )と下り( $0 \to - 8.0$ )は軸対称。

よって計算する前に「帰りの時間=行きの時間 $4.0 s$ 、戻る速さ=出た速さ $8.0 m/s$ 」が確定する。真面目に解くのは(1)だけでよく、(2)は対称性の一言で済む。答案でも「対称性より」と書いてよい(理由=加速度が一定、を添える)。