物理基礎 / 運動の表し方

追いつく時刻と位置

★★ 標準追いつき等加速度直線運動x-tグラフ

問題

信号が青になった瞬間、静止していた自動車が一定の加速度 $2.0 m/ s^{2}$ で発進した。同じ瞬間、その横を一定の速度 $10 m/s$ のバイクが同じ向きに通過した。

(1) 自動車がバイクに追いつくのは何秒後か。

(2) 追いつく地点は信号から何 m か。

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「追いつく」を式のことばで言うと、2 台の何が等しくなることだろう。それぞれの位置を t の式で書いて、等号で結ぼう。

解答・解説

「追いつく」=「2 台の位置が等しい」。同じ原点・同じ時刻から式を立て、位置を等しいとおく。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「追いつく」という日本語を式に翻訳すると、同じ時刻に位置が等しいとなる。

2 台それぞれの位置を $t$ の式で書き、イコールで結ぶ。出発点と出発時刻が同じなので、原点も時計も共通に取れる。

① それぞれの位置の式。

② 位置を等しいとおく。

$t^{2} = 10 t ⟹ t (t - 10) = 0$

$t = 0$ は出発の瞬間(同じ場所にいた)なので、追いつくのは $t = 10 s$ 後。

③ 位置を出す。

$x = 10 \times 10 = 100 m$

(自動車側でも $1 0^{2} = 100 m$ で一致。)

x-tグラフ。直線(バイク)と放物線(自動車)の交点が追いつく点

まとめ x-tグラフでは、バイクは直線、自動車は放物線。交点が追いつきの瞬間だ。はじめはバイクが先行し(直線が上)、自動車の速度が $10 m/s$ を超えた $t = 5.0 s$ 以降に差が縮まっていく様子もグラフから読める。

答

(1) $10 s$ 後 (2) $100 m$

相対運動で解くルート(得意な人向け)。 バイクから見ると、自動車は「初速度 $- 10 m/s$ (後ろへ下がる)、加速度 $+ 2.0 m/ s^{2}$ 」の運動に見える。

追いつく=相対位置が $0$ に戻ることだから

$- 10 t + \frac{1}{2} \times 2.0 \times t^{2} = 0 ⟹ t (t - 10) = 0$

よって $t = 10 s$ 。相手を止めて考える相対運動の見方は、2 物体問題の計算を 1 物体分に減らしてくれる。