時間差で落とした2球の間隔

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2 つの物体が出てきたら、まずそれぞれの経過時間を整理する。P を基準にした時刻 $t=3.0\mathrm{s}$ のとき、Q は $1.0\mathrm{s}$ 遅れで落ち始めたので、落下してから $2.0\mathrm{s}$ しかたっていない。

あとは各自の落下距離を出して引くだけだ。

① それぞれの落下距離。

$$y_P=\frac{1}{2}\times 9.8\times 3.0^2=44.1\mathrm{m}$$

$$y_Q=\frac{1}{2}\times 9.8\times 2.0^2=19.6\mathrm{m}$$

② 間隔を出す。

$$44.1-19.6=24.5\mathrm{m}$$

まとめ 複数の物体の問題は「各物体の時計」を最初にそろえること。同じ $t$ という文字でも、物体ごとに経過時間が違うことがある。図に位置を描き込むと取り違えを防げる。

発展 — 一歩先へ。 間隔 $24.5\mathrm{m}$ は時間とともに開いていく。実は 2 球の速度差は $g\times 1.0=9.8m/s$ で一定(どちらも同じペースで加速するから)。間隔は毎秒 $9.8\mathrm{m}$ ずつ開く。この「差は等速で開く」という見方が、次の別解につながる。

別解

相対速度で一気に出すルート(得意な人向け)。 Q が落ち始めた瞬間($t=1.0\mathrm{s}$)、P はすでに $4.9\mathrm{m}$ 下にいて、速度差は $9.8m/s$。

それ以降、2 球の加速度は同じ $g$ だから速度差はずっと $9.8m/s$ のまま。つまり Q から見ると、P は等速 $9.8m/s$ で遠ざかる。

$2.0\mathrm{s}$ 後の間隔は $4.9+9.8\times 2.0=24.5\mathrm{m}$。同じ加速度の 2 物体は、相対的には等速運動 — この視点は追いつき・すれ違い問題全般で強力だ。