ビルの屋上からの投げ上げ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 上がってから落ちてくる運動だが、場合分けはいらない。上向きを正、投げた点を原点とすれば、$y=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$ が上昇も下降もまとめて面倒を見てくれる。

急所は「地面」の座標。投げた点より $14.7\mathrm{m}$ 下だから、$y=-14.7\mathrm{m}$ だ。

① 地面に達する時刻。

$$-14.7=9.8t-4.9t^2$$

両辺を $4.9$ で割って整理すると

$$t^2-2t-3=0⟹(t-3)(t+1)=0$$

$t>0$ より $t=3.0\mathrm{s}$。

② 直前の速さ。

$$v=9.8-9.8\times 3.0=-19.6m/s$$

負は下向きの意味。速さは $19.6m/s$。

まとめ 座標と符号を最初に決めれば、「上がって下がる」運動も 1 本の式で処理できる。マイナスの位置・マイナスの速度を怖がらないことが、落体運動の卒業試験だ。捨てた解 $t=-1$ は「もし過去から同じ放物運動をしていたら $1$ 秒前に地面にいた」という意味で、物理的に採れない。

別解

対称性で区切って足すルート(苦手な人向け)。 投げ上げの対称性から、小球は $9.8÷9.8\times 2=2.0\mathrm{s}$ 後に同じ高さ(屋上の高さ)へ速さ $9.8m/s$ で戻ってくる。

そこからは「初速度 $9.8m/s$ の投げ下ろしで $14.7\mathrm{m}$ 落ちる」問題になる。$14.7=9.8t^{\prime }+4.9t^{\prime 2}$ を解くと $t^{\prime 2}+2t^{\prime }-3=0$ より $t^{\prime }=1.0\mathrm{s}$。

合計 $2.0+1.0=3.0\mathrm{s}$。往復を対称性で飛ばすと、2 次方程式が小さくなって計算が軽い。