物理基礎 / 運動の表し方

距離と速度から加速度と時間を求める

★★ 標準等加速度直線運動公式の使い分け

問題

一直線上を等加速度で進む物体が、ある点を速度 $4.0 m/s$ で通過し、そこから $16 m$ 進んだ点を速度 $12 m/s$ で通過した。

(1) 加速度を求めよ。

(2) この $16 m$ を進むのにかかった時間を求めよ。

ヒントを見る

(1)では時間がわからない。時間ぬきで速度と距離を結ぶ公式はどれか。(2)は(1)の結果を使えば一本道。

解答・解説

(1)は時間が出てこないので v²−v₀²=2ax。(2)は加速度がわかった後なら v=v₀+at で時間が出る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 与えられているのは「最初の速度・あとの速度・距離」。時間はない。時間が登場しないなら $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ — 公式選びの原則どおりに進める。

① 加速度を求める。

$1 2^{2} - 4. 0^{2} = 2 a \times 16$

$144 - 16 = 32 a ⟹ a = 4.0 m/ s^{2}$

② 時間を求める。

加速度がわかれば $v = v_{0} + a t$ が使える。

$12 = 4.0 + 4.0 t ⟹ t = 2.0 s$

速度が 4.0→12 m/s、面積(距離)16 m。まず加速度、次に時間の順で決まる

まとめ 3 公式は「その問題に登場する量」で選ぶ。(1)は $t$ 抜き、(2)は $x$ 抜き。1 問の中でも小問ごとに选び直すのがふつうだ。

答

(1) $4.0 m/ s^{2}$ (2) $2.0 s$

平均の速度から時間を先に出すルート(得意な人向け)。 等加速度だから、この区間の平均の速度は

$\overset{v}{ˉ} = \frac{4.0 + 12}{2} = 8.0 m/s$

よって時間は $t = 16 \div 8.0 = 2.0 s$ 。加速度はそのあと $a = (12 - 4.0) \div 2.0 = 4.0 m/ s^{2}$ 。

(2)→(1)の順で解く逆ルート。平均の速度は 2 乗の計算がいらないぶん、暗算でも進めやすい。

$v^{2} - v_{0}^{2}$ を $(v - v_{0})^{2}$ と書いてしまう( $144 - 16 = 128$ と $64$ で結果が変わる)
$2 a x$ の $2$ を落とす
(2)で改めて $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ の 2 次方程式を解いて時間をかける(v=v₀+at で十分)