3区間の v-tグラフ(加速・等速・減速)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電車やエレベーターの運動は「加速 → 等速 → 減速」の 3 区間が定番。v-tグラフにすると台形になる。

傾き=加速度、面積=距離。この 2 つの読み方だけで最後まで行ける。

① 傾きを読む。

• 加速中($0$〜$6.0\mathrm{s}$): $a_1=\frac{12}{6.0}=+2.0m/{\mathrm{s}}^2$
• 減速中($26$〜$30\mathrm{s}$): $a_3=\frac{0-12}{4.0}=-3.0m/{\mathrm{s}}^2$

② 面積を 3 つに分けて足す。

• 加速(三角形): $\frac{1}{2}\times 6.0\times 12=36\mathrm{m}$
• 等速(長方形): $12\times 20=240\mathrm{m}$
• 減速(三角形): $\frac{1}{2}\times 4.0\times 12=24\mathrm{m}$

$$36+240+24=300\mathrm{m}$$

まとめ 3 区間に分けても、やることは基礎の v-tグラフと同じ。複雑そうな運動ほど、v-tグラフを描いて図形の問題に変えるのが物理の常套手段だ。

発展 — 一歩先へ。 台形全体の面積公式を使うと $\frac{(20+30)\times 12}{2}=300\mathrm{m}$ と一度でも出せる(上底=等速時間、下底=全時間)。式の形が「平均的な走行時間 × 最高速度」になっているのがおもしろいところだ。

別解

平均の速度で各区間を片づけるルート。 加速区間は $0\to 12m/s$ だから平均 $6.0m/s$、距離 $6.0\times 6.0=36\mathrm{m}$。減速区間は $12\to 0$ で平均 $6.0m/s$、距離 $6.0\times 4.0=24\mathrm{m}$。等速は $12\times 20=240\mathrm{m}$。

合計 $300\mathrm{m}$。「等加速度区間の距離=平均の速度 × 時間」で統一すると、$\frac{1}{2}$ のつけ忘れが構造的に起こらない。