物理基礎 / 運動の表し方

2つの条件から初速度と加速度を決める

★★ 標準等加速度直線運動連立

問題

一直線上を等加速度で進む物体が、動き出してから $2.0 s$ 間に $16 m$ 、 $4.0 s$ 間に $48 m$ 進んだ。初速度 $v_{0}$ と加速度 $a$ を求めよ。

ヒントを見る

わからない量が 2 つあるときは、条件を 2 本の式にして連立する。距離の式に t=2.0 と t=4.0 をそれぞれ入れてみよう。

解答・解説

未知数が v₀ と a の 2 つ、条件も 2 つ。x=v₀t+½at² に 2 つの条件を入れて連立方程式を作る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 未知数は $v_{0}$ と $a$ の $2$ つ。未知数が $2$ つなら、式も $2$ 本用意すればよい。

条件はちょうど $2$ つ( $2.0 s$ で $16 m$ 、 $4.0 s$ で $48 m$ )。距離の公式に順に代入して連立する。数学の連立方程式が、物理でそのまま道具になる場面だ。

① 条件を 2 本の式にする。

$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ に代入して

$2.0 v_{0} + 2.0 a = 16, 4.0 v_{0} + 8.0 a = 48$

整理すると $v_{0} + a = 8.0$ 、 $v_{0} + 2 a = 12$ 。

② 連立を解く。

差をとって $a = 4.0 m/ s^{2}$ 、もどして $v_{0} = 4.0 m/s$ 。

③ 検算する。

$t = 4.0$ : $4.0 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times 4.0 \times 16 = 16 + 32 = 48 m$ 。合っている。

v-tグラフ。t=2 s までの面積 16 m、t=4 s までの面積 48 m という 2 条件から v₀ と a が決まる

まとめ 「未知数の個数=必要な式の本数」。物理の文章題では、この数合わせを最初に確認すると、どの公式を何回使うかの見通しが立つ。

答

$v_{0} = 4.0 m/s$ 、 $a = 4.0 m/ s^{2}$

平均の速度で見抜くルート(得意な人向け)。 等加速度運動では、区間の平均の速度は区間の真ん中の時刻の瞬間の速度に等しい。

$0$ 〜 $2.0 s$ の平均は $16 \div 2.0 = 8.0 m/s$ → これは $t = 1.0 s$ の速度。

$0$ 〜 $4.0 s$ の平均は $48 \div 4.0 = 12 m/s$ → これは $t = 2.0 s$ の速度。

$1.0 s$ の間に速度が $8.0$ から $12$ へ増えたから $a = 4.0 m/ s^{2}$ 。 $t = 1.0$ へ $1.0$ 秒さかのぼって $v_{0} = 8.0 - 4.0 = 4.0 m/s$ 。連立を解かずに 2 行で終わる、v-tグラフの直線性を使った技だ。