物理基礎 / 運動の表し方

鉛直投げ上げ

★ 基礎投げ上げ落体運動v-tグラフ

問題

小球を地面から初速度 $19.6 m/s$ で真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 最高点に達するまでの時間を求めよ。

(2) 最高点の高さを求めよ。

(3) 投げた点に戻ってくるまでの時間を求めよ。

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最高点では速度がどうなっているだろうか。それを v=v₀−gt に当てはめると、最高点までの時間の式になる。

解答・解説

上向きを正にとると、加速度は −g。最高点の特徴は「速度がちょうど 0 になる」こと。この条件を式にする。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 上向きを正にとると、重力は負の向きだから $a = - 9.8 m/ s^{2}$ 。速度はだんだん減り、最高点でちょうど $0$ になり、そのあと負(下向き)に転じる。

「最高点=速度 $0$ の瞬間」。これがこの問題の急所だ。

公式鉛直投げ上げ(上向き正)

v = v_{0} - g t, y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}

。最高点では

v = 0

① 最高点までの時間。

$v = 0$ とおくと

$0 = 19.6 - 9.8 t ⟹ t = 2.0 s$

② 最高点の高さ。

$y = 19.6 \times 2.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 2. 0^{2} = 39.2 - 19.6 = 19.6 m$

③ 戻ってくるまでの時間。

投げた点に戻る $y = 0$ とおくと $0 = t (19.6 - 4.9 t)$ より $t = 0$ (投げた瞬間)か $t = 4.0 s$ 。よって $4.0 s$ 。

投げ上げの v-tグラフ(上向き正)。青の面積が上がった高さ、赤が下りた高さで等しい

まとめ v-tグラフを見ると、上がり( $0$ 〜 $2.0 s$ )と下り( $2.0$ 〜 $4.0 s$ )がきれいな対称になっている。上がりにかかる時間と下りにかかる時間は等しく、戻ってきたときの速さは投げたときと同じ。この対称性を知っていると検算が一瞬でできる。

答

(1) $2.0 s$ (2) $19.6 m$ (3) $4.0 s$

対称性で図から読むルート(苦手な人向け)。 v-tグラフは $19.6$ から始まり、 $1$ 秒に $9.8$ ずつ減る直線。 $0$ になるのは $19.6 \div 9.8 = 2.0$ 秒後で、これが最高点。

最高点の高さは、 $0$ 〜 $2.0 s$ の三角形の面積で $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 19.6 = 19.6 m$ 。

下りは上りの鏡写しだから、戻るまでの時間は $2.0 \times 2 = 4.0 s$ 。グラフの対称性だけで 3 問とも答えられる。