自由落下

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「静かに放す」= 初速度 $0$。落体の運動は、初速度 $0$・加速度 $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ の等加速度直線運動にすぎない。

新しい公式は何もいらない。下向きを正として、いつもの式に $v_0=0,a=g$ を入れるだけだ。

① 速さを求める。

$$v=9.8\times 2.0=19.6m/s$$

② 落下距離を求める。

$$y=\frac{1}{2}\times 9.8\times 2.0^2=19.6\mathrm{m}$$

v-tグラフで見ると、落下距離は原点から伸びる直線の下の三角形の面積になっている。

まとめ 自由落下・投げ下ろし・投げ上げは、すべて「加速度が $g$ で一定」の運動。公式が増えたのではなく、$v_0$ と $a$ の値が決まっただけ、ととらえるのが上達の近道だ。

発展 — 一歩先へ。 $g$ は場所によって少し違い、月面では約 $1.6m/{\mathrm{s}}^2$(地球の約 $6$ 分の $1$)。同じ $2.0\mathrm{s}$ でも月では約 $3.2\mathrm{m}$ しか落ちない。ガリレイが発見した「落体の運動は物体の重さによらない」という事実は、空気のない月面での羽根とハンマーの実験で実証された。

別解

平均の速度で出すルート(苦手な人向け)。 速さは $0$ から $19.6m/s$ まで一直線に増える。だから平均の速さはちょうど真ん中の

$$\bar{v}=\frac{0+19.6}{2}=9.8m/s$$

落下距離は $\bar{v}t=9.8\times 2.0=19.6\mathrm{m}$。$\frac{1}{2}g{t}^2$ の $\frac{1}{2}$ は、この「平均をとる」操作から来ている。