物理基礎 / 運動の表し方

時間を含まない公式

★ 基礎等加速度直線運動公式

問題

初速度 $6.0 m/s$ 、加速度 $2.0 m/ s^{2}$ で一直線上を進む物体が、 $16 m$ 進んだときの速度を求めよ。

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与えられているのは初速度・加速度・距離で、時間はどこにも出てこない。時間の入っていない公式が1つだけあったはず。

解答・解説

方針

時間 $t$ が与えられておらず、聞かれてもいない。時間を含まない公式 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を選ぶと一度で解ける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3 公式の選び方は「登場しない文字はどれか」に注目するのが速い。この問題には時間 $t$ が登場しない(与えられても、聞かれてもいない)。

だから、時間を含まない公式を選ぶ。

公式等加速度直線運動

v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x

(時間

t

を含まない)

① 代入する。

$v^{2} = 6. 0^{2} + 2 \times 2.0 \times 16 = 36 + 64 = 100$

② 平方根をとる。

物体は正の向きに進み続けているので $v > 0$ 。

$v = 10 m/s$

v-tグラフの面積(台形)=進んだ距離 16 m。時間を消すと v²−v₀²=2ax になる

まとめ $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ は、 $v = v_{0} + a t$ と $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ から $t$ を消去して作った式。「時間が出てこない問題」で使うと計算が一気に短くなる。

発展 — 一歩先へ。 この式の両辺に $\frac{1}{2} m$ を掛けると $\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = ma x$ 。右辺は「力 × 距離」の形で、後の単元で学ぶ仕事と運動エネルギーの関係そのものになる。3 公式の中でこの式だけが、エネルギーの世界への入り口につながっている。

答

$10 m/s$

別解

時間をあえて求めるルート(公式を忘れたとき用)。 基本の 2 式だけでも解ける。 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ に代入して

$16 = 6.0 t + t^{2}$

つまり $t^{2} + 6 t - 16 = 0$ 、 $(t + 8) (t - 2) = 0$ より $t = 2.0 s$ 。

これを $v = v_{0} + a t$ に入れて $v = 6.0 + 2.0 \times 2.0 = 10 m/s$ 。遠回りだが、基本 2 式さえあれば全部の問題が解けるという安心感は持っておきたい。

ポイント

時間が登場しない問題では v²−v₀²=2ax
平方根をとるときは進む向き(符号)を確認
3 公式は基本 2 式から t を消去した関係にある

よくある間違い

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a x$ の $v_{0}^{2}$ を $v_{0}$ のまま足してしまう(2 乗を忘れない)
$v^{2} = 100$ から $v = 50$ とする(2 で割るのではなく平方根をとる)
問題に時間がないのに $v = v_{0} + a t$ を選んで手が止まる(公式選びの段階で登場人物を確認する)