物理基礎 / 運動の表し方

等加速度直線運動の変位

★ 基礎等加速度直線運動変位v-tグラフ

問題

初速度 $3.0 m/s$ 、加速度 $2.0 m/ s^{2}$ で一直線上を進む物体がある。動き出してから $4.0 s$ 間に進む距離を求めよ。

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時間と距離を結ぶ公式はどれだったか。代入したら、v-tグラフの面積でも同じ値になるか確かめてみよう。

解答・解説

「時刻→距離」を結ぶ公式 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ を選ぶ。検算には v-tグラフの面積が使える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 聞かれているのは $4.0 s$ 間に「進む距離」。時間と距離を結ぶ公式を選ぶ。

公式等加速度直線運動

x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

① 代入する。

$x = 3.0 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 4. 0^{2} = 12 + 16 = 28 m$

② v-tグラフで意味を確かめる。

速度は $v = 3.0 + 2.0 t$ なので、 $4.0 s$ 後の速度は $11 m/s$ 。v-tグラフは $3.0$ から $11$ へ上がる直線になる。

v-tグラフ。塗った台形の面積が進んだ距離 28 m

進んだ距離はこのグラフと横軸の間の面積(台形)に等しい。

$\frac{( 3.0 + 11 ) \times 4.0}{2} = 28 m$

公式の値と一致した。

まとめ $v_{0} t$ は「最初の速度のまま進んだ分」(長方形)、 $\frac{1}{2} a t^{2}$ は「加速で上乗せされた分」(三角形)。公式は v-tグラフの面積を 2 つに分けて足しているだけだ。

答

$28 m$

平均の速度で一気に出すルート(得意な人向け)。 速度が一直線に増えるとき、全体の平均の速度は最初と最後のちょうど真ん中になる。

$\overset{v}{ˉ} = \frac{3.0 + 11}{2} = 7.0 m/s$

だから距離は $\overset{v}{ˉ} t = 7.0 \times 4.0 = 28 m$ 。

「台形の面積 =(上底+下底)÷2 × 高さ」を速度のことばで言い直すと「平均の速度 × 時間」になる。この見方は入試まで使い続ける強力な道具だ。

$\frac{1}{2}$ を忘れて $v_{0} t + a t^{2}$ で計算する(v-tグラフの三角形の面積だから $\frac{1}{2}$ がつく)
$t^{2}$ の計算を先にせず $a t$ を 2 乗してしまう( $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 16$ の順で落ち着いて計算する)
答えの単位を m/s にしてしまう(距離を求めたのだから m)