記録タイマーによる実験の解析

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 記録タイマーの実験は、「連続する等時間の変位」の理論をそのまま現実の紙テープにしたものだ。

区間の長さが $2.0\mathrm{cm}$ ずつ一定の割合で増えている — これが等加速度の証拠で、増え幅 $=a{T}^2$ から加速度が測れる。

① 区間の時間。

$1$ 打点は $\frac{1}{50}\mathrm{s}$。$5$ 打点で

$$T=\frac{5}{50}=0.10\mathrm{s}$$

② 加速度。

変位の差は $5.0-3.0=7.0-5.0=2.0\mathrm{cm}=0.020\mathrm{m}$。差 $=a{T}^2$ より

$$a=\frac{0.020}{(0.10{)}^2}=2.0m/{\mathrm{s}}^2$$

③ 境目の速さ。

等加速度では、区間の平均の速度=区間の中央時刻の瞬間の速度。境目は第 1 区間の中央と第 2 区間の中央のさらに真ん中…と考えるより、境目をまたぐ 2 区間($0.20\mathrm{s}$ で $8.0\mathrm{cm}$)の平均を使うのが早い。この平均は 2 区間の中央時刻=ちょうど境目の瞬間の速度に等しい。

$$v=\frac{0.030+0.050}{0.20}=0.40m/s$$

まとめ 実験データの解析は「差をとって $a{T}^2$」「またいで平均して瞬間の速さ」の 2 本立て。単位換算(cm → m)を最初にやってしまうのが事故防止のコツだ。

発展 — 一歩先へ。 実際の実験ではテープの読み取りに誤差がある。区間差が $1.9,2.1\mathrm{cm}$ のようにばらつくとき、平均をとってから $a{T}^2$ で割ると誤差が均される。測定を複数回使って平均する発想は、物理実験すべてに通じる基本作法だ。

別解

棒グラフとして見るルート(苦手な人向け)。 テープの各区間は「$0.10\mathrm{s}$ の間に進んだ距離」だから、テープを縦に並べればそのまま v-tグラフの棒グラフになる(高さ ∝ 平均の速さ)。

棒の高さが $3.0,5.0,7.0$ と一直線に増える → 等加速度。直線の傾きから $a$、棒の高さから各区間の平均の速さ($0.30,0.50,0.70m/s$)が読める。境目の速さは隣り合う棒の平均 $\frac{0.30+0.50}{2}=0.40m/s$。テープ=グラフ、という見方は実験プリントの定番だ。