中間時刻の速度と中間地点の速度

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 同じ「真ん中」でも、時間の真ん中と距離の真ん中は別の場所だ。ここを区別できるかがこの問題のすべて。

$v$ は時間に対しては 1 次式($v=v_0+at$)、距離に対しては $v^2$ が 1 次式($v^2=v_0^2+2ax$)。それぞれの 1 次性から「真ん中の値」が決まる。

① 中間時刻の速度。

$v$ は時間の 1 次式だから、真ん中の時刻での値は両端の算術平均。

$$v_{\mathrm{T}}=\frac{6.0+8.0}{2}=7.0m/s$$

② 中間地点の速度。

全区間の長さを $L$ とする。前半 $L/2$ に $v^2-v_0^2=2ax$ を使うと

$$v_{\mathrm{X}}^2=v_1^2+2a\cdot \frac{L}{2}=v_1^2+\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=\frac{v_1^2+v_2^2}{2}=\frac{36+64}{2}=50$$

$$v_{\mathrm{X}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7.1m/s$$

③ 大小比較。

$v_{\mathrm{X}}\approx 7.1>7.0=v_{\mathrm{T}}$。

理由: 前半は速度が小さく、同じ距離に時間が余計にかかる。だから中間地点を通過するのは中間時刻より後で、加速中ゆえ速度はより大きくなっている。

まとめ $v_{\mathrm{T}}$ は算術平均、$v_{\mathrm{X}}$ は「2 乗平均平方根」。一般に $\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{2}}\ge \frac{v_1+v_2}{2}$(等号は $v_1=v_2$)が成り立つので、中間地点の速度は必ず中間時刻の速度以上になる。

発展 — 一歩先へ。 この 2 つの平均の不等式は、数学の「2 乗平均 ≥ 相加平均」そのもの。証明は差をとると ${\left(\frac{v_1-v_2}{2}\right)}^2\ge 0$ に帰着する。統計で登場する標準偏差の計算にも同じ構造が現れる。

別解

v² を距離の 1 次関数と見るルート(種明かし)。 $v^2=v_1^2+2ax$ は「$v^2$ は距離 $x$ の 1 次式」と読める。1 次式なら、距離の真ん中での値は両端の算術平均:

$$v_{\mathrm{X}}^2=\frac{v_1^2+v_2^2}{2}$$

つまり(1)と(2)は「$v$ は時間の 1 次式・$v^2$ は距離の 1 次式。だから真ん中の値は端の平均」という同じ論法を別の変数で使っているだけだ。公式の使い方でなく関数の形で見ると、2 問が 1 つの原理に統合される。