物理基礎 / 運動の表し方

崖からの投げ下ろし(文字式の総合)

★★★ 応用投げ下ろし文字式2次方程式

問題

高さ $h$ の崖の上から、小球を初速度 $v_{0}$ で真下に投げ下ろした。重力加速度の大きさを $g$ とする。

高さ h の崖の上から初速度 v0 で真下に投げ下ろす

(1) 地面に達する直前の速さ $v$ を $v_{0}, g, h$ で表せ。

(2) 地面に達するまでの時間 $t$ を $v_{0}, g, h$ で表せ。

(3) $v_{0} = 9.8 m/s$ 、 $h = 39.2 m$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ のときの $v$ と $t$ を求めよ。

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(1)は時間が出てこない。どの公式が最短か。(2)は 2 次方程式を解いてもよいが、(1)の結果を使うともっと楽な道がある。

解答・解説

方針

(1)は時間ぬきの公式で一発。(2)は(1)の v を使えば v=v₀+gt から 1 次方程式で済む(2 次方程式の解の公式を避けられる)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文字式の総合問題は解く順番の設計で難易度が変わる。(1)を先に(時間ぬきの式で)出せば、(2)は 1 次方程式で済む。いきなり(2)を 2 次方程式で攻めると計算が重い。

下向きを正とする。

① 直前の速さ。

時間を含まない式 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 g h$ より

$v = v_{0}^{2} + 2 g h$

(下向きに進み続けるので正の平方根。)

② 時間。

$v = v_{0} + g t$ を $t$ について解いて、(1)を代入する。

$t = \frac{v - v _{0}}{g} = \frac{- v _{0} + v _{0}^{2} + 2 g h}{g}$

③ 数値を代入。

$v = 9. 8^{2} + 2 \times 9.8 \times 39.2 = 96.04 + 768.32 = 864.36 = 29.4 m/s$

$t = \frac{29.4 - 9.8}{9.8} = 2.0 s$

まとめ 検算を 2 つ。極端な場合 $v_{0} = 0$ とすると $v = 2 g h$ 、 $t = 2 h / g$ — 自由落下の公式に正しく戻る。また $h = 0$ なら $v = v_{0}$ 、 $t = 0$ 。文字式は極限の場合で必ず検算。この習慣が入試の文字式問題での命綱になる。

答

(1) $v = v_{0}^{2} + 2 g h$ (2) $t = \frac{- v _{0} + v _{0}^{2} + 2 g h}{g}$ (3) $v = 29.4 m/s$ 、 $t = 2.0 s$

別解

平均の速度で時間を出すルート(2 次方程式いらず)。 等加速度だから、落下中の平均の速度は $\frac{v _{0} + v}{2}$ 。距離 $h$ をこの平均で割れば

$t = \frac{2 h}{v _{0} + v} = \frac{2 \times 39.2}{9.8 + 29.4} = \frac{78.4}{39.2} = 2.0 s$

解の公式も引き算もいらない。 $t = \frac{v - v _{0}}{g}$ と $t = \frac{2 h}{v _{0} + v}$ が同じ値になるのは、 $(v - v_{0}) (v + v_{0}) = v^{2} - v_{0}^{2} = 2 g h$ だから — 3 公式が裏でつながっていることの、きれいな見本になっている。

ポイント

解く順番の設計で計算量が変わる(v を先に出す)
文字式は v₀=0 や h=0 の極端な場合で検算
平均の速度 t=2h/(v₀+v) は解の公式の回避路

よくある間違い

(2)でいきなり $h = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2}$ の解の公式に突入して計算が破綻する(正攻法だが、(1)経由が軽い)
$v_{0}^{2} + 2 g h$ を $v_{0} + 2 g h$ と分けてしまう(平方根は和に分配できない)
解の公式を使う場合に負の解 $\frac{- v _{0} - \dots}{g}$ を捨て忘れる