物理基礎 / 運動の表し方

空中で出会うための条件(文字式)

★★★ 応用自由落下投げ上げ文字式不等式

問題

高さ $H$ の点から小球 A を静かに落とすと同時に、その真下の地面から小球 B を初速度 $v_{0}$ で真上に投げ上げる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

(1) 2 球が出会うまでの時間 $t$ を $H, v_{0}$ で表せ。

(2) B が上昇している間に出会うための条件を、 $H, v_{0}, g$ で表せ。

(3) $v_{0} = 14.7 m/s$ 、 $H = 19.6 m$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ のとき、出会いは B の上昇中か下降中か。

ヒントを見る

(1)は高さの式を等しいとおく(t² の項は消える)。(2)「上昇している間」を時刻の不等式にすると、何と何を比べればよいだろう。

解答・解説

出会いの時刻は「相対速度 v₀ で間隔 H を詰める」と考えると一瞬。上昇中の条件は、出会いの時刻が最高点到達時刻 v₀/g より前であること。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 数値の代わりに文字で解く問題では、式の意味を言葉で追う力が試される。手順は数値のときと同じ。地面を原点、上向きを正にして高さの式を立てる。

(2)の「上昇している間に」のような状況の条件は、時刻の不等式に翻訳する。

① 出会いの時刻。

$y_{A} = H - \frac{1}{2} g t^{2}, y_{B} = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$

$y_{A} = y_{B}$ とおくと $- \frac{1}{2} g t^{2}$ が両辺で消えて

$H = v_{0} t ⟹ t = \frac{H}{v _{0}}$

② 上昇中に出会う条件。

B が上昇しているのは、最高点に達する $t = \frac{v _{0}}{g}$ より前。よって

$\frac{H}{v _{0}} < \frac{v _{0}}{g} ⟹ H < \frac{v _{0}^{2}}{g}$

③ 数値で判定。

$t = \frac{19.6}{14.7} = \frac{4}{3} s \approx 1.3 s, \frac{v _{0}}{g} = \frac{14.7}{9.8} = 1.5 s$

$\frac{4}{3} < 1.5$ なので上昇中に出会う。(条件式でも $\frac{v _{0}^{2}}{g} = 22.05 > 19.6 = H$ で整合。)

高さ H から A を放し、真下の地面から B を v₀ で投げ上げる。出会う時刻 t=H/v₀

まとめ 文字式の答えは次元と極端な場合で検算する。 $t = H / v_{0}$ は「距離 ÷ 速さ」の次元で正しい。 $v_{0}$ を大きくすると $t$ が小さくなる(すぐ出会う)のも直感に合う。この 2 つの検算習慣は文字式問題の命綱だ。

答

(1) $t = \frac{H}{v _{0}}$ (2) $H < \frac{v _{0}^{2}}{g}$ (3) $t = \frac{4}{3} s < 1.5 s$ (最高点到達時刻)なので上昇中

相対速度で構造を見抜くルート(本解の種明かし)。 A から見た B は、加速度が同じ( $- g$ どうし)なので等速 $v_{0}$ で近づいてくる。間隔 $H$ を速さ $v_{0}$ で詰めるから $t = H / v_{0}$ — $t^{2}$ が消えた理由はこれだ。

(2)も相対の目で見ると「B が失速して落ち始める前に届くか」の勝負で、届く距離の上限が $v_{0} \times \frac{v _{0}}{g} = \frac{v _{0}^{2}}{g}$ 。条件 $H < v_{0}^{2} / g$ が「B の腕の長さ」として意味を持って見えてくる。

「上昇中」の条件を高さの比較で作ろうとして複雑化する(時刻の比較 $H / v_{0} < v_{0} / g$ が最短)
$t^{2}$ の項を消さずに 2 次方程式を解いて遠回りする(出会い条件では重力の項が必ず相殺する)
(3)で $4/3$ を $1.5$ より大きいと思い込む( $4/3 = 1.33 \dots < 1.5$ 。分数のまま比べるなら $8/6 < 9/6$ )