物理基礎 / 運動の表し方

ぎりぎり追いつく条件(重解の物理)

★★★ 応用追いつき2次方程式判別式

問題

静止していた自動車が時刻 $t = 0$ に一定の加速度 $2.0 m/ s^{2}$ で発進した。その $3.0 s$ 後、同じ地点を一定の速度 $12 m/s$ のバイクが同じ向きに通過した。

(1) バイクが自動車に追いつく時刻を求めよ。

(2) このときバイクは「ぎりぎり追いつく」状況であることを、2 台の速度を比べて説明せよ。

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位置が等しいとおいて 2 次方程式を作ると、解の様子がいつもと違うはず。「解が 1 つしかない」ことは、運動の言葉で何を意味するだろう。

解答・解説

位置を等しいとおくと 2 次方程式になる。解が重解になることに気づくのがポイント。重解=「一瞬だけ並ぶ」=ぎりぎり追いつく。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 追いつき問題の手順どおり、位置の式を立てて等号で結ぶ。ただしこの問題は答えの形に仕掛けがある。2 次方程式が重解を持つのだ。

数学で「重解=接する」だったことを思い出しながら進めよう。

① 位置の式を立てる。

② 等しいとおく。

$t^{2} = 12 t - 36 ⟹ t^{2} - 12 t + 36 = (t - 6)^{2} = 0$

重解 $t = 6.0 s$ 。追いつくのはこの一瞬だけ。

③ 速度を比べる。

$t = 6.0 s$ での自動車の速度は $2.0 \times 6.0 = 12 m/s$ — バイクとぴったり同じ。

この瞬間より前はバイクが速く(差を詰め)、後は自動車が速い(引き離す)。だから並べるのはこの一瞬だけで、バイクは追いついた直後に置いていかれる。「ぎりぎり追いつく」とはこういう状況だ。

x-tグラフ。バイクの直線が自動車の放物線に接する=ぎりぎり追いつく

まとめ x-tグラフで見ると、バイクの直線が自動車の放物線に接している。交わる(2 回並ぶ=追い抜いてまた抜かれる)でも、離れている(追いつけない)でもない、その境目が重解。数学の判別式 $D = 0$ が「ぎりぎり」という物理の状況に対応する。

答

(1) $t = 6.0 s$ (ただ 1 回だけ並ぶ) (2) $t = 6.0 s$ で両者の速度がともに $12 m/s$ で等しく、以後は自動車が速くなるため、この一瞬しか並べない

相対運動+平方完成で見るルート(得意な人向け)。 バイクから見た自動車の相対位置は

$x_{1} - x_{2} = t^{2} - 12 t + 36 = (t - 6)^{2}$

平方完成した瞬間に、相対位置は常に $0$ 以上(バイクは決して前に出ない)で、 $t = 6.0$ にだけ $0$ になる(並ぶ)ことが読み取れる。方程式を「解く」のでなく式の形から運動の全history を読む、一段上の見方だ。