連続する等時間の変位の差

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「最初の速度がわからない」まま変位だけ与えられている。わからない量は文字でおいて式を立てるのが定石だ。

観察開始の速度を $v_0$、加速度を $a$ とし、開始時刻を $t=0$ とする。

① 各 1.0 s 間の変位を式にする。

$x(t)=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ を使って

• 最初の $1.0\mathrm{s}$: $x(1)-x(0)=v_0+\frac{1}{2}a=5.0$
• 次の $1.0\mathrm{s}$: $x(2)-x(1)=v_0+\frac{3}{2}a=9.0$

② 差をとる。

$$\left(v_0+\frac{3}{2}a\right)-\left(v_0+\frac{1}{2}a\right)=a=9.0-5.0=4.0m/{\mathrm{s}}^2$$

$v_0$ が消えて、変位の差がそのまま加速度(区間幅 $1.0\mathrm{s}$ のとき)になった。

③ v₀ と次の区間。

$v_0+\frac{1}{2}\times 4.0=5.0$ より $v_0=3.0m/s$。

次の $1.0\mathrm{s}$ 間は、差がまた $4.0\mathrm{m}$ 増えて $9.0+4.0=13\mathrm{m}$。(検算: $x(3)-x(2)=v_0+\frac{5}{2}a=3.0+10=13$。)

まとめ 等加速度運動では、等しい時間間隔 $T$ ごとの変位は等差数列になり、その公差は $a{T}^2$。この性質は次の記録タイマーの問題で実験の解析にそのまま使われる。

発展 — 一歩先へ。 静止から出発した場合、$1$ 秒ごとの変位の比は $1:3:5:7:\cdots$(奇数列)になる。ガリレイが斜面の実験で等加速度運動を発見したときの手がかりが、まさにこの奇数の規則だった。

別解

数列の目で見るルート(得意な人向け)。 等加速度なら変位の列 $5.0,9.0,\dots$ は等差数列になる(理由は本解の差の計算)。公差は $4.0$。

だから次の項は $13$、その次は $17$、と即答できる。物理の「等加速度」が数学の「等差数列」に対応する — 分野をまたぐ対応に気づくと、覚えることが半分になる。