気柱共鳴の実験

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水面より上の気柱は、管口が腹・水面が節の閉管とみなせる。水面を下げると気柱が長くなり、長さが $\frac{\lambda }{4},\frac{3\lambda }{4},\frac{5\lambda }{4},\dots$ になるたびに共鳴する。この間隔が求めるものだ。

① 波長。

$$\lambda =\frac{v}{f}=\frac{340}{500}=0.68\mathrm{m}$$

② 共鳴の間隔。

共鳴する気柱の長さは $\frac{\lambda }{4}$ ごとに $\frac{\lambda }{2}$ ずつ増える(隣り合う共鳴の差は半波長)。

$$\frac{\lambda }{2}=\frac{0.68}{2}=0.34\mathrm{m}$$

まとめ 隣り合う共鳴の気柱の長さの差は必ず $\frac{\lambda }{2}$。だから共鳴の間隔を測れば波長がわかり、音速も求められる($v=f\lambda$)。この実験は音速の測定に使われる。開口端補正があると各共鳴の長さは少しずれるが、差(間隔)には補正が効かないので、間隔から波長を出すのが正確だ。

別解

共鳴の長さを並べるルート(理解の確認)。 共鳴する気柱の長さは $\frac{\lambda }{4}=0.17\mathrm{m}$、$\frac{3\lambda }{4}=0.51\mathrm{m}$、$\frac{5\lambda }{4}=0.85\mathrm{m}$、…。

隣どうしの差は $0.51-0.17=0.34\mathrm{m}$、$0.85-0.51=0.34\mathrm{m}$ と一定で、これが $\frac{\lambda }{2}$。共鳴の長さを並べれば、間隔が半波長で一定になることが見える。