開管の2倍振動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 開管は両端が腹で、整数倍振動がすべて現れる($1,2,3,\dots$ 倍)。閉管が奇数倍のみだったのと対照的だ。$2$ 倍振動を考える。

① 波長。

開管の $2$ 倍振動は $\lambda =L$($1$ 波長が管に入る)。

$$\lambda =L=0.50\mathrm{m}$$

② 振動数。

$$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{340}{0.50}=680\mathrm{Hz}$$

基本振動($340\mathrm{Hz}$)の $2$ 倍。

まとめ 開管の共鳴は $f_n=\frac{nv}{2L}=n{f}_1$($n=1,2,3,\dots$)で、すべての整数倍が出る。弦とまったく同じ形の式(端が節でなく腹なだけ)。閉管の奇数倍のみとの違いが、フルート(開管系)とクラリネット(閉管系)の音色の差を生む。

別解

基本の 2 倍で見るルート(検算)。 開管の基本振動は $f_1=\frac{v}{2L}=\frac{340}{1.0}=340\mathrm{Hz}$。開管は整数倍すべて出るので、$2$ 倍振動は $2f_1=680\mathrm{Hz}$。

波長は $\lambda =\frac{v}{f}=\frac{340}{680}=0.50\mathrm{m}$。基本を出して整数倍する、で速い。開管は「弦と同じ整数倍」と覚える。