物理基礎 / 波の性質と音

閉管の3倍振動

★★ 標準気柱閉管共鳴

問題

一端を閉じた長さ $0.85 m$ の管がある。音の速さを $340 m/s$ 、開口端補正は無視する。

閉管の 3 倍振動。閉端が節・開端が腹。閉管は奇数倍のみ共鳴(λ=4L/3)

この閉管で、基本振動の次に共鳴する振動(3倍振動)の波長と振動数を求めよ。

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閉管では奇数倍の振動しか共鳴しない。基本の次は 3 倍振動で、λ=4L/3。振動数は基本の 3 倍になる。

解答・解説

方針

閉管は奇数倍振動のみ。3 倍振動は λ=4L/3。振動数は基本の 3 倍。f=v/λ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 閉管の共鳴の特徴は奇数倍振動しか現れないこと(閉端が節・開端が腹という条件から)。基本振動の次は $2$ 倍でなく3 倍振動だ。

閉管の 3 倍振動。閉端が節・開端が腹。閉管は奇数倍のみ共鳴(λ=4L/3)

① 波長。

閉管の $3$ 倍振動は $λ = \frac{4 L}{3}$ 。

$λ = \frac{4 \times 0.85}{3} = \frac{3.4}{3} \approx 1.13 m$

② 振動数。

$f = \frac{v}{λ} = \frac{340}{4 L /3} = \frac{3 \times 340}{4 \times 0.85} = \frac{1020}{3.4} = 300 Hz$

基本振動( $100 Hz$ )の $3$ 倍。

まとめ 閉管の共鳴は $f_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) v}{4 L}$ で、基本の奇数倍( $1, 3, 5, \dots$ )だけ。開管が整数倍すべて( $1, 2, 3, \dots$ )出るのと対照的だ。この違いが楽器の音色の差を生む。閉管では偶数倍振動が共鳴できない、を押さえておく。

答

波長 $\frac{4 L}{3} \approx 1.13 m$ 、振動数 $300 Hz$

別解

基本の 3 倍で見るルート(得意な人向け)。 閉管の基本振動は $f_{1} = \frac{v}{4 L} = \frac{340}{3.4} = 100 Hz$ 。閉管の共鳴は奇数倍なので、次は $3 f_{1} = 300 Hz$ 。

波長は $λ = \frac{v}{f} = \frac{340}{300} \approx 1.13 m$ 。基本を出して奇数倍する、で速い。「閉管=奇数倍」を知っていれば $2$ 倍を飛ばして $3$ 倍に行ける。

ポイント

閉管は奇数倍振動のみ(1,3,5,…)
f_n=(2n−1)v/(4L)
開管(整数倍すべて)と対照的

よくある間違い

閉管で 2 倍振動を考える(偶数倍は共鳴しない)
3 倍振動の波長を 4L としてしまう(4L/3)
閉管と開管の共鳴条件を取り違える