物理基礎 / 波の性質と音

弦の基本振動から速さを求める

★★ 標準弦の振動波の基本式

問題

両端を固定した長さ $0.80 m$ の弦が、基本振動で振動数 $250 Hz$ の音を出している。

弦の基本振動(λ=2L)。振動数 250 Hz から波の速さ v=fλ を逆算

(1) この弦の基本振動の波長を求めよ。

(2) この弦を伝わる波の速さを求めよ。

ヒントを見る

基本振動の波長は λ=2L。速さは v=fλ で求める。音速(空気中)ではなく、弦を伝わる波の速さを聞かれている点に注意。

解答・解説

基本振動は λ=2L。速さは v=fλ。振動数と波長から弦を伝わる波の速さが逆算できる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 基本振動なので $λ = 2 L$ 。波長と振動数がわかれば、 $v = f λ$ で弦を伝わる波の速さが逆算できる。ここで求めるのは空気中の音速ではなく、弦の上の波の速さだ。

弦の基本振動(λ=2L)。振動数 250 Hz から波の速さ v=fλ を逆算

① 波長。

$λ = 2 L = 2 \times 0.80 = 1.6 m$

② 速さ。

$v = f λ = 250 \times 1.6 = 400 m/s$

まとめ 弦を伝わる波の速さ( $400 m/s$ )は、弦の張力が強いほど、また弦が軽いほど速くなる。速さが変われば、同じ弦でも基本振動の振動数(音の高さ)が変わる。ギターやバイオリンで弦を強く張ると音が高くなるのは、波の速さが上がって振動数が上がるためだ。

答

(1) $1.6 m$ (2) $400 m/s$

1 周期で 1 波長のルート(検算)。 周期は $T = \frac{1}{250} = 0.0040 s$ 。基本振動の波長は $1.6 m$ 。

波は $1$ 周期で $1$ 波長進むから $v = \frac{λ}{T} = \frac{1.6}{0.0040} = 400 m/s$ 。 $f λ$ でも $\frac{λ}{T}$ でも同じ。基本の関係に戻れば必ず一致する。