物理基礎 / 波の性質と音

弦の3倍振動と振動数

★★ 標準弦の振動倍音

問題

両端を固定した長さ $0.60 m$ の弦がある。弦を伝わる波の速さは $120 m/s$ である。

弦の 3 倍振動。腹が 3 つ、波長は基本の 1/3、振動数は 3 倍

(1) 基本振動の振動数を求めよ。

(2) 腹が $3$ つの振動(3倍振動)の振動数を求めよ。

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基本振動 λ=2L から f₁=v/(2L)。n 倍振動の振動数は基本の n 倍になる。3 倍振動は f₁×3。

解答・解説

方針

基本振動は λ=2L。n 倍振動は λ=2L/n で振動数は基本の n 倍。f_n=n·v/(2L)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の振動数は「基本振動 → その整数倍」でできている。まず基本を出し、 $n$ 倍振動はその $n$ 倍と考える。

弦の 3 倍振動。腹が 3 つ、波長は基本の 1/3、振動数は 3 倍

① 基本振動の振動数。

基本振動は $λ = 2 L = 1.2 m$ 。

$f_{1} = \frac{v}{λ} = \frac{120}{1.2} = 100 Hz$

② 3 倍振動の振動数。

$3$ 倍振動の振動数は基本の $3$ 倍。

$f_{3} = 3 f_{1} = 3 \times 100 = 300 Hz$

まとめ 弦の振動数は $f_{n} = \frac{n v}{2 L} = n f_{1}$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ )。基本振動( $f_{1}$ )を基準に、その整数倍の振動数だけが定常波として現れる。これが倍音で、楽器の音色を決める。 $3$ 倍振動では腹が $3$ つ、波長は基本の $\frac{1}{3}$ 、振動数は $3$ 倍になる。

答

(1) $100 Hz$ (2) $300 Hz$

別解

波長から直接出すルート(検算)。 $3$ 倍振動は腹が $3$ つ=半波長が $3$ 個入るので $λ = \frac{2 L}{3} = \frac{1.2}{3} = 0.40 m$ 。

$f_{3} = \frac{v}{λ} = \frac{120}{0.40} = 300 Hz$

$n f_{1}$ で出しても、波長 $\frac{2 L}{n}$ から出しても同じ。腹の数 → 波長 → 振動数、と順にたどっても届く。

ポイント

弦: f_n=nv/(2L)=nf₁(倍音)
基本振動を基準に整数倍の振動数だけ現れる
n 倍振動は腹 n 個、波長 2L/n

よくある間違い

3 倍振動の振動数を基本の 1/3 とする(3 倍)
波長と振動数の関係(反比例)を逆にする
腹の数と波長の対応を誤る