弦の2倍振動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の振動では、腹の数で波長が決まる。基本振動(腹 $1$ つ)は半波長が入った。腹が $2$ つなら、その $2$ 倍の $1$ 波長ちょうどが弦に入る。

① 波長。

腹が $2$ つ=$1$ 波長が弦に入るから

$$\lambda =L=0.60\mathrm{m}$$

② 振動数。

$$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{180}{0.60}=300\mathrm{Hz}$$

まとめ 弦の振動は「腹 $n$ 個 → 弦に半波長が $n$ 個 → $\lambda =\frac{2L}{n}$」。基本($n=1$)は $\lambda =2L$、$2$ 倍振動($n=2$)は $\lambda =L$、$3$ 倍は $\lambda =\frac{2L}{3}$。腹が増えるほど波長が短く、振動数が高くなる(倍音)。$2$ 倍振動の振動数は基本振動の $2$ 倍になる。

別解

基本振動の何倍かで見るルート(得意な人向け)。 $n$ 倍振動の振動数は基本振動の $n$ 倍。基本振動は $\lambda =2L=1.2\mathrm{m}$、$f_1=\frac{180}{1.2}=150\mathrm{Hz}$。

$2$ 倍振動はその $2$ 倍で $f_2=300\mathrm{Hz}$。「$n$ 倍振動 = 基本の $n$ 倍の振動数」を知っていれば、基本を出して掛けるだけ。倍音の関係が見える。