物理基礎 / 波の性質と音

閉管の気柱の共鳴

★ 基礎気柱閉管共鳴

問題

一端を閉じた長さ $0.85 m$ の管の中の空気が、最も低い振動数で共鳴した(基本振動)。音の速さを $340 m/s$ 、開口端補正は無視する。

閉管の基本振動。閉じた端が節、開いた端が腹。管の長さに 1/4 波長(λ=4L)

(1) 基本振動の波長を求めよ。

(2) 基本振動の振動数を求めよ。

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閉じた端は空気が動けないので節、開いた端は自由に動けるので腹。閉管の基本振動では管の長さが 1/4 波長になる。

解答・解説

閉じた端は節、開いた端は腹。閉管の基本振動は管の長さに 1/4 波長が入るので λ=4L。振動数は f=v/λ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 気柱の共鳴も定常波。閉じた端は空気が動けないので節、開いた端は自由に動けるので腹。閉管の基本振動は「節(閉端)—腹(開端)」の最も単純な形で、管の長さに4 分の 1 波長( $\frac{1}{4}$ 波長)が入る。

閉管の基本振動。閉じた端が節、開いた端が腹。管の長さに 1/4 波長(λ=4L)

① 波長。

$\frac{λ}{4} = L ⟹ λ = 4 L = 4 \times 0.85 = 3.4 m$

② 振動数。

$f = \frac{v}{λ} = \frac{340}{3.4} = 100 Hz$

まとめ 閉管の基本振動は $λ = 4 L$ 。同じ長さの開管( $λ = 2 L$ 、次問)より波長が $2$ 倍長く、振動数は半分=低い音になる。「閉じた端=節、開いた端=腹」を押さえれば、気柱の問題はこの $1/4$ 波長・ $1/2$ 波長の当てはめに帰着する。

答

(1) $3.4 m$ (2) $100 Hz$

弦との違いで見るルート(整理)。 弦は両端とも節( $λ = 2 L$ )。閉管は片方が節・もう片方が腹なので、収まるのは弦の半分の $1/4$ 波長( $λ = 4 L$ )。

だから同じ長さでも、閉管の波長は弦の $2$ 倍。「両端同じ→半波長、両端違う→ $1/4$ 波長」と、端の種類で入る波の割合が決まる、と整理すると気柱と弦がつながる。