物理基礎 / 波の性質と音

弦の基本振動

★ 基礎弦の振動定常波

問題

両端を固定した長さ $0.50 m$ の弦をはじくと、最も単純な振動(基本振動)をした。弦を伝わる波の速さを $200 m/s$ とする。

弦の基本振動。両端が節、中央が腹。弦の長さ L に半波長が入る(λ=2L)

(1) 基本振動の波長を求めよ。

(2) 基本振動の振動数を求めよ。

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両端は固定=節。基本振動では、弦の長さがちょうど半波長になる。λ=2L から波長を出し、f=v/λ で振動数を求める。

解答・解説

両端は固定なので節。基本振動は弦の長さに半波長がちょうど入るので λ=2L。振動数は f=v/λ。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の両端は固定されているので、そこは必ず節になる。基本振動は最も単純な形で、弦の長さにちょうど半波長が入る(節—腹—節)。

弦の基本振動。両端が節、中央が腹。弦の長さ L に半波長が入る(λ=2L)

① 波長。

弦の長さ $L$ が半波長だから

$\frac{λ}{2} = L ⟹ λ = 2 L = 2 \times 0.50 = 1.0 m$

② 振動数。

$f = \frac{v}{λ} = \frac{200}{1.0} = 200 Hz$

まとめ 弦の基本振動は「両端が節、中央が腹」の $1$ つの腹の形。波長は弦の長さの $2$ 倍。この振動数がその弦の基本音の高さになる。弦を短くする(ギターで指を押さえる)と $L$ が小さくなり、波長が短く振動数が高く=高い音になる。

答

(1) $1.0 m$ (2) $200 Hz$

半波長が入る、で直接見るルート(苦手な人向け)。 基本振動の形は、弦の左端(節)から右端(節)まで、山(または谷)が $1$ つ。これは正弦波の半分の形=半波長。

だから「 $0.50 m$ に半波長」→ 半波長 $= 0.50 m$ → $1$ 波長 $= 1.0 m$ 。図で山半分ぶんが弦に収まる様子を見れば、 $λ = 2 L$ が納得できる。