弦と気柱の共鳴を合わせる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの媒質(弦と空気)が出てくる。振動数は共通(弦が空気を揺らし、その音が気柱を揺らす)だが、波の速さと波長は媒質ごとに違う。ここを混ぜないのが急所だ。

① 弦の振動数。

弦の基本振動は ${\lambda }_{弦}=2L_1=2\times 0.50=1.0\mathrm{m}$。弦を伝わる速さは $300m/s$ なので

$$f=\frac{v_{弦}}{{\lambda }_{弦}}=\frac{300}{1.0}=300\mathrm{Hz}$$

この $300\mathrm{Hz}$ が、空気中を伝わる音の振動数でもある。

② 閉管の長さ。

空気中の波長は、空気中の音速で計算する($340m/s$、弦の速さではない)。

$${\lambda }_{空気}=\frac{v_{空気}}{f}=\frac{340}{300}\approx 1.133\mathrm{m}$$

閉管の基本振動は $L=\frac{{\lambda }_{空気}}{4}$。

$$L=\frac{1.133}{4}\approx 0.283\mathrm{m}$$

まとめ 弦と空気は振動数だけ共通、速さと波長は別。弦の速さ($300$)で空気中の波長を出すのは誤り。$2$ 媒質にまたがる問題では、「振動数は同じ、$v$ と $\lambda$ は媒質ごと」を徹底する。弦の音の高さ($300\mathrm{Hz}$)が、共鳴する閉管の長さを決めている。

別解

振動数を橋渡しにするルート(整理)。 弦の世界: $v_{弦}=300$、${\lambda }_{弦}=1.0$ → $f=300$。この $f$ を空気の世界へ持ち込む。空気の世界: $v_{空気}=340$、$f=300$ → ${\lambda }_{空気}=\frac{340}{300}$。閉管なので $L=\frac{{\lambda }_{空気}}{4}\approx 0.28\mathrm{m}$。

「$f$ は世界をまたいで共通、$v$ と $\lambda$ はそれぞれの世界の値」と分けて書くと、混同を防げる。共鳴とは振動数が一致すること、が全体を貫く。