気温が変わると共鳴振動数はどうなるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 気柱の共鳴で変わるもの・変わらないものを見分けるのが急所。波長は管の長さで決まる($\lambda =2L$)ので、気温(音速)が変わっても一定。一方、振動数 $f=\frac{v}{\lambda }$ は音速に比例する。

① 気温が低いとき($v=340$)。

基本振動は $\lambda =2L=1.0\mathrm{m}$。

$$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{340}{1.0}=340\mathrm{Hz}$$

② 気温が上がったとき($v=350$)。

波長は $\lambda =1.0\mathrm{m}$ のまま(管の長さは変わらない)。音速だけ上がるので

$$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{350}{1.0}=350\mathrm{Hz}$$

振動数は $340\to 350\mathrm{Hz}$ に上がる。

まとめ 気柱の波長は管の長さが決めるので音速によらず一定。振動数は音速に比例して変わる。だから気温が上がると管楽器の音は高くなる(冬に管楽器のピッチが下がるのはこのため)。「波長は形が、振動数は速さが決める」と役割を分けると、気温変化の影響が読める。

別解

比で考えるルート(得意な人向け)。 波長が一定なら、振動数は音速に正比例する。音速が $\frac{350}{340}$ 倍になれば、振動数も同じ $\frac{350}{340}$ 倍。

$340\times \frac{350}{340}=350\mathrm{Hz}$。個別に計算しなくても「音速が上がった割合だけ振動数も上がる」で即答できる。波長が固定されているのがこの比例の前提だ。