物理基礎 / 波の性質と音

うなりで未知の振動数を測る

★★★ 応用うなり音

問題

振動数 $440 Hz$ の基準の音さ A と、振動数のわからない音さ X を同時に鳴らすと、 $1$ 秒間に $2$ 回のうなりが聞こえた。X に少量のおもりを貼りつけて振動数をわずかに下げたところ、うなりの回数が $1$ 秒間に $3$ 回に増えた。

うなり 2 回の候補は 438 と 442。下げてうなりが増えたので 438

音さ X のもとの振動数を求めよ。

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うなり 2 回なので X は 438 か 442。下げるとうなりが増えた=440 から離れた、と考えるとどちらか決まる。

解答・解説

うなり 2 回より X は 438 か 442。X を下げるとうなりが増えた=440 から遠ざかったので、X は A より低い 438 Hz。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 うなりの回数は振動数の差の大きさなので、 $∣440 - f_{X} ∣ = 2$ から $f_{X}$ は $438$ か $442$ の $2$ 通り。もう $1$ つの情報(下げたら増えた)で一意に決める。

うなり 2 回の候補は 438 と 442。下げてうなりが増えたので 438

① 候補を出す。

$∣440 - f_{X} ∣ = 2 ⟹ f_{X} = 438 または 442$

② 増減で決める。

X を下げたら、うなりが $2$ 回 → $3$ 回に増えた。うなりが増えた= $440$ との差が広がった。

よって $f_{X} = 438 Hz$ 。

まとめ うなりだけでは候補が $2$ つ残る。振動数を少し変えたときの増減で一意に決めるのが、うなりを使った振動数測定の定石だ。「基準から遠ざかれば増、近づけば減」。楽器の調律もこの原理で、うなりが $0$ になるまで合わせる。

答

$438 Hz$

数直線で候補を可視化するルート(苦手な人向け)。 $440$ を中心に、うなり $2$ 回に対応するのは左右 $2$ ずれた $438$ と $442$ 。X を下げる(左へ動かす)と、 $438$ はさらに左=差が開く=うなり増、 $442$ は $440$ へ寄る=差が縮む=うなり減。

実際は増えたので、左側の $438$ 。基準からの距離が広がるか縮むかを数直線で見れば、候補を一意に選べる。