音さで弦を共振させる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「音さに共振」がポイント。弦は音さと同じ振動数 $250\mathrm{Hz}$ で振動する(共振)。あとは $3$ 倍振動の波長を出して $v=f\lambda$ だ。

① 波長。

$3$ 倍振動は

$$\lambda =\frac{2L}{3}=\frac{2\times 0.90}{3}=0.60\mathrm{m}$$

② 弦を伝わる波の速さ。

弦の振動数は音さと同じ $250\mathrm{Hz}$ だから

$$v=f\lambda =250\times 0.60=150m/s$$

まとめ 共振では「振動を与える側(音さ)の振動数」で弦が揺れる。この振動数と、弦の定常波の条件(何倍振動か)が両方そろって波長が決まり、速さが逆算できる。弦の振動数は音さ由来、波長は弦の長さ由来、と出どころを分けて考えるのがコツ。張力を変えると波の速さ $v$ が変わり、共振する倍振動の種類が変わる。

別解

周期から出すルート(検算)。 音さの周期は $T=\frac{1}{250}=0.0040\mathrm{s}$。$3$ 倍振動の波長は $0.60\mathrm{m}$。

$v=\frac{\lambda }{T}=\frac{0.60}{0.0040}=150m/s$。$f\lambda$ でも $\frac{\lambda }{T}$ でも同じ。共振で振動数が音さに固定される、が押さえどころだ。