気柱共鳴と開口端補正

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実際の気柱では、腹が管口より少しだけ外側にできる(開口端補正 $\Delta$)。だから共鳴の長さは理論値より少し短い。まず補正の影響を受けない共鳴の間隔から波長を出し、次に補正を逆算する。

① 波長。

隣り合う共鳴の長さの差は $\frac{\lambda }{2}$。この差には補正が効かない(両方に同じ $\Delta$ が乗るので打ち消す)。

$$\frac{\lambda }{2}=0.51-0.16=0.35⟹\lambda =0.70\mathrm{m}$$

② 開口端補正。

第 $1$ 共鳴では「気柱の長さ + 補正 = $\frac{\lambda }{4}$」が成り立つ。

$$0.16+\Delta =\frac{\lambda }{4}=\frac{0.70}{4}=0.175$$

$$\Delta =0.175-0.16=0.015\mathrm{m}$$

まとめ 開口端補正のせいで各共鳴の長さは少しずつずれるが、間隔($\frac{\lambda }{2}$)には補正が効かない。だから波長は間隔から正確に出せる。補正は第 $1$ 共鳴の式から逆算する。実験では「間隔で波長、第 $1$ 共鳴で補正」がセオリーだ。$v=f\lambda =500\times 0.70=350m/s$ と音速も出せる。

別解

理論の共鳴長と比べるルート(理解の確認)。 補正がなければ第 $1$ 共鳴は $\frac{\lambda }{4}=0.175\mathrm{m}$、第 $2$ 共鳴は $\frac{3\lambda }{4}=0.525\mathrm{m}$ のはず。

実際は $0.16\mathrm{m}$ と $0.51\mathrm{m}$ で、どちらも理論値より $0.015\mathrm{m}$ 短い。この一定のずれが開口端補正。両方が同じだけ短いので、差をとると補正が消える(だから間隔から波長が正確に出る)ことも確認できる。