定常波の節の位置

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 倍振動は腹が $3$ つ。まず波長を出し、次に節が等間隔($\frac{\lambda }{2}$ ごと)に並ぶことから位置を求める。両端も節だ。

① 波長。

$3$ 倍振動は半波長が $3$ 個入るから

$$\lambda =\frac{2L}{3}=\frac{2\times 1.2}{3}=0.80\mathrm{m}$$

② 節の位置。

節と節の間隔は $\frac{\lambda }{2}=\frac{0.80}{2}=0.40\mathrm{m}$。両端(節)から $0.40\mathrm{m}$ ごとに節ができる。

$$0(左端),0.40,0.80,1.2(右端)$$

両端を除くと、左端から $0.40\mathrm{m}$ と $0.80\mathrm{m}$。

まとめ $3$ 倍振動の節は、両端も含めて $4$ 個($=n+1$ 個)、腹は $3$ 個($=n$ 個)。節は $\frac{L}{n}$ ごとに等間隔に並ぶ($n$ 倍振動なら $\frac{L}{n}$ 間隔)。弦を $\frac{L}{3}$ の位置で軽く触れると $3$ 倍振動だけが残る(ハーモニクス奏法)のは、そこが節になるためだ。

別解

弦を n 等分するルート(苦手な人向け)。 $n$ 倍振動は、弦を $n$ 等分した各区間に腹が $1$ つずつ入る形。$3$ 倍振動なら弦を $3$ 等分($1.2÷3=0.40\mathrm{m}$ ごと)し、その区切りが節。

区切りは $0.40\mathrm{m}$、$0.80\mathrm{m}$(両端 $0$ と $1.2$ を除く)。「弦を腹の数で等分した点が節」と覚えると位置がすぐ出る。