物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

送電と電力損失

★★ 標準送電電力損失

問題

発電所から電力 $1.0 \times 1 0^{4} W$ を、抵抗 $0.50 Ω$ の送電線で送る。(1) 送電電圧が $100 V$ のとき、送電線で失われる電力を求めよ。(2) 送電電圧を $1000 V$ にすると、失われる電力はいくらになるか。

発電所から送電線(抵抗 0.50 Ω)を通して電力を送る

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送電線で失われるのはジュール熱で、電流の 2 乗で効く。まず「同じ電力を送るのに必要な電流」が電圧によってどう変わるかを計算しよう。

解答・解説

送る電流は I=P/V。送電線での損失は p=rI²。電圧を 10 倍にすると電流が 1/10 になり、損失は 1/100 になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 送る電力 $P = V I$ が同じでも、高い電圧で送れば電流は小さくて済む。送電線の損失はジュール熱 $r I^{2}$ で電流の 2 乗で効くから、電流を減らせるかどうかが勝負になる。

公式送る電流

I = \frac{P}{V}

、送電線の損失

p = r I^{2}

① 100 V で送る場合。

$I = \frac{1.0 \times 1 0 ^{4}}{100} = 100 A$

$p = r I^{2} = 0.50 \times 10 0^{2} = 5.0 \times 1 0^{3} W$

送った電力の半分が送電線の発熱で消える。

② 1000 V で送る場合。

$I = \frac{1.0 \times 1 0 ^{4}}{1000} = 10 A$

$p = 0.50 \times 1 0^{2} = 50 W$

損失はわずか $0.5$ %。電圧を 10 倍にしただけで、損失は $\frac{1}{100}$ になった。

まとめ これが「送電は高電圧で行う」理由である。電圧 $n$ 倍 → 電流 $1/ n$ 倍 → 損失 $1/ n^{2}$ 倍。実際の送電線が数十万 V なのは、この 2 乗の効果を最大限使うためだ。

答

(1) $5.0 \times 1 0^{3} W$ (半分が損失) (2) $50 W$ ( $0.5$ %)

損失の式を 1 本にまとめるルート(得意な人向け)。 $I = P / V$ を $p = r I^{2}$ に代入すると

$p = r (\frac{P}{V})^{2} = \frac{r P ^{2}}{V ^{2}}$

送る電力 $P$ と線の抵抗 $r$ が同じなら、損失は $V^{2}$ に反比例。 $V$ が $100 \to 1000$ の 10 倍で $p$ は $1/100$ 、と代入前に構造から読める。