物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

直列と並列の混合回路

★★ 標準合成抵抗混合回路

問題

$6.0 Ω$ の抵抗 $R_{2}$ 、 $R_{3}$ を並列にし、それに $3.0 Ω$ の抵抗 $R_{1}$ を直列につないで、 $12 V$ の電源に接続した。(1) 回路全体の合成抵抗 (2) 電源を流れる電流 (3) $R_{2}$ を流れる電流をそれぞれ求めよ。

R₂・R₃ の並列に R₁ が直列。並列部を 3.0 Ω にまとめてから解く

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回路を一気に解こうとせず、まず並列の 2 本をまとめて「抵抗 2 個の直列」に描き直そう。図が簡単になれば、あとは順番にオームの法則を使うだけになる。

解答・解説

並列部分を先にまとめて 1 個の抵抗に置き換え、直列 2 個の回路に直す。全体の電流→並列部の電圧→枝の電流、の順にたどる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 混合回路の鉄則は「内側からまとめて簡単な回路に描き直す」。並列部分を 1 個の抵抗に置き換えれば、ただの直列回路になる。解く順番は、全体 → 並列部の電圧 → 枝の電流、と外から内へ。

① 並列部をまとめる。 $6.0 Ω$ が 2 本の並列は

$\frac{1}{R _{23}} = \frac{1}{6.0} + \frac{1}{6.0} = \frac{2}{6.0} ⟹ R_{23} = 3.0 Ω$

② 全体の合成抵抗。 $R_{1}$ と直列だから

$R = 3.0 + 3.0 = 6.0 Ω$

③ 電源を流れる電流。

$I = \frac{12}{6.0} = 2.0 A$

④ 並列部の電圧と枝の電流。 $R_{1}$ での電圧は $3.0 \times 2.0 = 6.0 V$ 。残りが並列部にかかるから

$V_{23} = 12 - 6.0 = 6.0 V$

$R_{2}$ の電流は

$I_{2} = \frac{6.0}{6.0} = 1.0 A$

まとめ 同じ抵抗 2 本の並列は「半分」と即答してよい( $6.0 \to 3.0$ )。混合回路は 1 手ごとに「いま共通なのは電流か電圧か」を確認しながら進むと迷子にならない。

答

(1) $6.0 Ω$ (2) $2.0 A$ (3) $1.0 A$

対称性で最後だけ即断するルート。 $R_{2}$ と $R_{3}$ は同じ $6.0 Ω$ だから、並列部に来た電流 $2.0 A$ は対称性でちょうど半分ずつに分かれる。

$I_{2} = \frac{2.0}{2} = 1.0 A$

並列部の電圧を計算しなくても (3) は出る。同じ抵抗が並んでいたら対称性を疑うと速い。