物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

導線の形と抵抗の変化

★★ 標準抵抗率

問題

ある導線 A の抵抗は $R$ である。A と同じ材質で、長さが $2$ 倍、断面積が $\frac{1}{2}$ 倍の導線 B の抵抗は R の何倍か。

B は A より長く(2倍)細い(断面積 1/2)。どちらも抵抗を増やす向きに効く

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長さと断面積、それぞれが抵抗を何倍にするかを別々に考えてから、あとで掛け合わせよう。

解答・解説

R=ρL/S で、L が 2 倍は抵抗 2 倍、S が 1/2 倍は抵抗 2 倍。掛け合わせて 4 倍。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 抵抗は $R = ρ \frac{L}{S}$ 。材質が同じなら $ρ$ は共通だから、変わるのは $L / S$ の部分だけ。長さの倍率と断面積の倍率を別々に見て、最後に掛け合わせる。

公式

R = ρ \frac{L}{S}

: 長さに比例、断面積に反比例

① 長さの効き。 $L$ が $2$ 倍 → 抵抗は $2$ 倍。

② 断面積の効き。 $S$ が $\frac{1}{2}$ 倍 → 反比例だから抵抗は $2$ 倍。

③ 掛け合わせる。

$R^{'} = ρ \frac{2 L}{S /2} = 4 ρ \frac{L}{S} = 4 R$

まとめ 「比例・反比例の倍率を別々に出して掛ける」のは、この型の問題の定石。導線を引き伸ばす問題(体積一定で長さ 2 倍→断面積が自動的に 1/2 倍→抵抗 4 倍)も、実は同じ計算になる。

答

$4$ 倍

引き伸ばしのイメージで確かめるルート。 粘土のひもを想像する。長さを 2 倍に伸ばすと、体積が同じなら断面積は勝手に半分になる。

つまり本問の B は「A を 2 倍に引き伸ばした線」と同じ形。道のりが 2 倍になり、道幅が半分になるのだから、通りにくさは $2 \times 2 = 4$ 倍。式の結果と一致する。