物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

抵抗の並列接続

★ 基礎並列接続合成抵抗

問題

$20 Ω$ と $30 Ω$ の抵抗を並列につないだ。合成抵抗を求めよ。

並列接続。道が 2 本に分かれ、両抵抗の電圧は共通

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並列は道が 2 本に分かれる接続。道が増えると全体として流れやすくなるか、流れにくくなるか。合成抵抗がどちらの抵抗より小さくなるはず、と見当をつけてから計算しよう。

解答・解説

並列の合成抵抗は 1/R=1/R₁+1/R₂。2 本だけなら「和分の積」R₁R₂/(R₁+R₂) が速い。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 並列は道が 2 本になる接続である。通り道が増えるのだから、全体としては必ず流れやすくなる。つまり合成抵抗は、どちらの抵抗よりも小さくなるはずだ。この見当が検算になる。

公式並列の合成抵抗

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

① 逆数の和をとる。

$\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

② 逆数を戻す。

$R = 12 Ω$

確かに $20 Ω$ より小さい。見当どおりである。

まとめ 並列のキーワードは「電圧が共通」(両端が同じ 2 点につながっているから)。合成は逆数の和。答えが最小の抵抗より小さくなっているかを毎回チェックすると、逆数の戻し忘れに気づける。

答

$12 Ω$

和分の積ルート(2 本のときの時短)。 並列 2 本に限り

$R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{20 \times 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12 Ω$

と 1 行で出せる。「積を和で割る」ので和分の積。3 本以上には使えない(逆数の和に戻ること)。