物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

混合回路と消費電力の比較

★★★ 応用混合回路電力

問題

$4.0 Ω$ の抵抗 $R_{1}$ に、 $4.0 Ω$ の抵抗 $R_{2}$ 、 $R_{3}$ の並列部分を直列につなぎ、 $12 V$ の電源に接続した。(1) 電源を流れる電流 (2) $R_{1}$ 、 $R_{2}$ の消費電力をそれぞれ求めよ。(3) 3 つの抵抗のうち、最も発熱が大きいのはどれか。

同じ 4.0 Ω が 3 本。R₁ だけ全電流が流れるので発熱が集中する

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3 本とも同じ 4.0 Ω なのがこの問題の仕掛け。消費電力は抵抗値だけでは決まらない。それぞれに流れる電流を出してから P=RI² で比べよう。

解答・解説

方針

合成(4.0+2.0=6.0 Ω)→全体電流→各抵抗の電流・電圧→P=RI²(または VI)。同じ抵抗値でも流れる電流が違えば電力は大きく変わる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3 本は同じ $4.0 Ω$ だが、流れる電流が違う。電力は $P = R I^{2}$ で電流の 2 乗が効くから、電流の多い抵抗が圧倒的に発熱する。まず回路を解いて各抵抗の電流を確定させる。

① 全体の電流。 並列部は同じ抵抗 2 本で半分の $2.0 Ω$ 。全体は

$R = 4.0 + 2.0 = 6.0 Ω, I = \frac{12}{6.0} = 2.0 A$

② 各抵抗の電力。 $R_{1}$ には全電流 $2.0 A$ が流れる。

$P_{1} = R_{1} I^{2} = 4.0 \times (2.0)^{2} = 16 W$

並列部の電圧は $12 - 4.0 \times 2.0 = 4.0 V$ 。 $R_{2}$ の電流は対称性より半分の $1.0 A$ で

$P_{2} = 4.0 \times (1.0)^{2} = 4.0 W$

( $R_{3}$ も同じ $4.0 W$ 。)

③ 比較。 $16 > 4.0$ より、最も発熱が大きいのは $R_{1}$ 。

検算: 電源の供給は $P = V I = 12 \times 2.0 = 24 W$ 。各抵抗の和は $16 + 4.0 + 4.0 = 24 W$ で一致する。

まとめ 「同じ抵抗値なら同じ発熱」ではない。直列部分は全電流を引き受けるので発熱が集中する。電力の検算(供給=消費の合計)はこの型の強力なチェックになる。

答

(1) $2.0 A$ (2) $R_{1}$ : $16 W$ 、 $R_{2}$ : $4.0 W$ (3) $R_{1}$

別解

電圧配分から P=V²/R で出すルート。 $R_{1}$ の電圧は $8.0 V$ 、並列部は $4.0 V$ 。

$P_{1} = \frac{8. 0 ^{2}}{4.0} = 16 W, P_{2} = \frac{4. 0 ^{2}}{4.0} = 4.0 W$

電圧で比べると、 $R_{1}$ には並列部の 2 倍の電圧がかかり、電力は 2 乗で 4 倍、と構造も読める。 $R I^{2}$ と $V^{2} / R$ 、使いやすい方で計算し、もう一方で検算するのが理想である。

ポイント

電力は電流(電圧)の 2 乗で効く
直列部分に発熱が集中する
供給電力=消費電力の合計で検算

よくある間違い

同じ抵抗値だから同じ電力と即断する
R₂ にも全電流 2.0 A を流して 16 W とする
並列部の電圧を 12 V のままにする