物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

送電損失の一般式(文字式)

★★★ 応用送電電力損失文字式

問題

発電所から電力 $P$ を電圧 $V$ で送り出す。送電線全体の抵抗を $r$ とする。(1) 送電線を流れる電流を $P$ 、 $V$ で表せ。(2) 送電線で失われる電力 $p$ を $P$ 、 $V$ 、 $r$ で表せ。(3) 送電電圧を $n$ 倍にすると、失われる電力は何倍になるか。

電力 P を電圧 V で送り出す。送電線の抵抗は r

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数値の送電問題でやった手順を、そのまま文字でなぞればよい。「電流を P と V で表す→損失は rI²」。最後の式で V がどこに現れるかを見れば (3) は自動的に出る。

解答・解説

送り出す電力の定義 P=VI から I を作り、ジュール熱 p=rI² に代入する。V の 2 乗が分母に来ることを式で確かめる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 数値で解いた送電の計算を文字にするだけである。文字式にする価値は、「何が損失を決めるのか」が構造として見えること。ゴールは $p$ を $P, V, r$ だけで書くことだから、途中に出る $I$ は消すべき文字である。

① 電流を表す。 送り出す電力は $P = V I$ だから

$I = \frac{P}{V}$

② 損失を表す。 送電線でのジュール熱(1 秒あたり)は $p = r I^{2}$ 。① を代入して

$p = r (\frac{P}{V})^{2} = \frac{r P ^{2}}{V ^{2}}$

③ 電圧を n 倍にする。 $V \to nV$ とすると

$p^{'} = \frac{r P ^{2}}{( nV ) ^{2}} = \frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{r P ^{2}}{V ^{2}} = \frac{p}{n ^{2}}$

よって $\frac{1}{n ^{2}}$ 倍。

まとめ 損失は $V^{2}$ に反比例。これが高圧送電の理屈のすべてで、たとえば電圧を 10 倍にすれば損失は 1/100 になる。数値問題(s09)の「100 V→1000 V で 5000 W→50 W」は、この式の $n = 10$ の場合そのものである。

答

(1) $I = \frac{P}{V}$ (2) $p = \frac{r P ^{2}}{V ^{2}}$ (3) $\frac{1}{n ^{2}}$ 倍

比で処理するルート(得意な人向け)。 $P$ と $r$ が共通なら、 $I \propto \frac{1}{V}$ 、 $p \propto I^{2}$ 。合成して

$p \propto \frac{1}{V ^{2}}$

$V$ が $n$ 倍なら $p$ は $1/ n^{2}$ 倍、と比例関係だけで (3) に直行できる。文字式を書き切る前に結論の形を予想する練習として有効である。