物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

電球の電流-電圧特性(非オーム抵抗)

★★★ 応用オームの法則グラフの読み取り

問題

図は、ある白熱電球の電流-電圧特性(加えた電圧と流れる電流の関係)である。グラフは原点を通る直線にならず、上に凸の曲線になっている。(1) $100 V$ を加えたときの電球の抵抗値と消費電力を求めよ。(2) 電圧が低いときと高いときで、抵抗値はどちらが大きいか。グラフから読み取り、その理由を「温度」という語を用いて説明せよ。

電球の I-V 特性。上に凸=電圧を上げるほど電流が伸びにくい(抵抗増)

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(1) はグラフから 100 V のときの電流を読むだけ。(2) は、グラフ上の点と原点を結ぶ直線の傾きが I/V=1/R にあたることを使うと、抵抗の変化が目で読める。

解答・解説

方針

グラフから 100 V のときの電流を読み、R=V/I と P=VI を計算する。曲線が寝ていく=電圧のわりに電流が増えない=抵抗が大きくなっている、と読む。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 オームの法則は「温度が一定なら」成り立つ法則である。白熱電球はフィラメントが数千 K まで熱くなるので、電圧を上げると温度が上がり、抵抗値そのものが変わってしまう。だからグラフは直線にならない。各点での抵抗は、その点の $V$ と $I$ から $R = V / I$ で定義どおり計算する。

① 100 V のときの値を読む。 グラフより、 $V = 100 V$ のとき $I = 0.50 A$ 。

$R = \frac{V}{I} = \frac{100}{0.50} = 200 Ω$

$P = V I = 100 \times 0.50 = 50 W$

② 抵抗の変化を読む。 たとえば $V = 25 V$ では $I = 0.25 A$ で、 $R = \frac{25}{0.25} = 100 Ω$ 。 $100 V$ のときの $200 Ω$ より小さい。つまり電圧が高い(電流が多い)ときほど抵抗は大きい。

理由: 電流が多いほどフィラメントの温度が上がり、金属は温度が上がるほど抵抗率が大きくなるから。

まとめ 曲線のグラフでは「原点と結んだ直線の傾き $= I / V$ 」が流れやすさを表す。傾きがだんだん寝ていく=抵抗がだんだん増える、と図形として読めるようになると、この型は得点源になる。

答

(1) 抵抗 $200 Ω$ 、消費電力 $50 W$ (2) 高いときほど大きい。電流でフィラメントの温度が上がり、金属の抵抗率が大きくなるから

別解

傾きで比較するルート(視覚派向け)。 原点から曲線上の各点へ直線を引くと、その傾きは $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ 。

低電圧の点への直線は急(= $R$ 小)、高電圧の点への直線は緩やか(= $R$ 大)。数値を計算しなくても、「上に凸の I-V 曲線 → 電圧を上げるほど抵抗が増える」ことがグラフの形だけから読み取れる。

ポイント

R=V/I は各点で定義どおり使える
白熱電球は温度上昇で抵抗が増える(非オーム)
原点と結ぶ直線の傾き=1/R

よくある間違い

曲線の接線の傾きから抵抗を出そうとする(定義は V/I。接線ではない)
「グラフが曲がる=オームの法則が全宇宙で破れた」と考える(温度一定なら成り立つ)
(2) の理由を温度に触れずに「そういう性質だから」で済ませる