3 本の抵抗の組み合わせ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 抵抗の組み合わせ問題は、図を描いて内側からまとめるの一手に尽きる。直列は必ず大きく、並列は必ず小さくするから、最大は全直列・最小は全並列と最初から見当がつく。

① 最大: 全直列。

$$6.0+6.0+6.0=18\Omega$$

② 最小: 全並列。

$$\frac{1}{R}=\frac{3}{6.0}⟹R=2.0\Omega$$

③ 2 本並列+1 本直列。 並列部は同じ抵抗 2 本だから半分の $3.0\Omega$。それに 1 本を直列で

$$6.0+3.0=9.0\Omega$$

④ 2 本直列//1 本。 直列部は $12\Omega$。これと $6.0\Omega$ の並列で

$$R=\frac{12\times 6.0}{12+6.0}=\frac{72}{18}=4.0\Omega$$

まとめ 同じ抵抗 $r$ を 3 本使うと、$3r$、$\frac{r}{3}$、$\frac{3r}{2}$、$\frac{2r}{3}$ の 4 種類が作れる($18,2.0,9.0,4.0$ は $r=6.0$ での値)。「並列をまとめてから直列」の順を守れば、どんな組み合わせでも崩れない。

別解

文字のまま一般式で解くルート(得意な人向け)。 抵抗を $r$ とおくと、①' $3r$、②' $r/3$、③' $r+\frac{r}{2}=\frac{3r}{2}$、④' $\frac{2r\cdot r}{2r+r}=\frac{2r}{3}$。

$r=6.0$ を最後に代入して $18,2.0,9.0,4.0\Omega$。文字で解くと 4 つの型の大小関係($\frac{r}{3}<\frac{2r}{3}<\frac{3r}{2}<3r$)まで一目でわかる。