物理基礎 / 電気とエネルギーの利用

電池の内部抵抗と端子電圧

★★★ 応用内部抵抗オームの法則

問題

起電力 $3.0 V$ 、内部抵抗 $0.50 Ω$ の電池に、 $1.0 Ω$ の抵抗をつないだ。(1) 回路を流れる電流 (2) 電池の端子電圧(電池の両端の電圧)をそれぞれ求めよ。

電池は起電力 E と内部抵抗 r の直列として描き直す(左辺全体が 1 個の電池)

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電池を「理想の電源+小さな抵抗が中に入った箱」と描き直してみよう。回路全体では抵抗が 2 個直列になっている。端子電圧は、箱の外から測れる電圧である。

解答・解説

内部抵抗は電池の中にある小さな抵抗。回路全体は起電力 E に r と R が直列になった形で、I=E/(R+r)。端子電圧は E から内部抵抗の分 rI を引く。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実際の電池は、内部にわずかな抵抗(内部抵抗 $r$ )を持つ。回路図では電池を「起電力 $E$ と抵抗 $r$ の直列」に描き直す。すると回路は $E$ に $r$ と $R$ が直列につながっただけの形になる。

公式

I = \frac{E}{R + r}

、端子電圧

V = E - r I

(

= R I

)

① 電流を求める。 全抵抗は $R + r = 1.0 + 0.50 = 1.5 Ω$ だから

$I = \frac{E}{R + r} = \frac{3.0}{1.5} = 2.0 A$

② 端子電圧を求める。 起電力のうち、内部抵抗で $r I = 0.50 \times 2.0 = 1.0 V$ が電池の内部で使われてしまう。外に出てくるのは残りで

$V = E - r I = 3.0 - 1.0 = 2.0 V$

③ 検算。 端子電圧は外部抵抗の電圧と等しいはずで、 $R I = 1.0 \times 2.0 = 2.0 V$ 。一致する。

まとめ 電流を流すほど $r I$ が増え、端子電圧は起電力より下がる。電池を使うと電圧が「へたる」現象の正体がこれである。電流を流していないときだけ、端子電圧=起電力になる。

答

(1) $2.0 A$ (2) $2.0 V$

外部抵抗側から見るルート。 端子電圧を先に文字で置く。外部抵抗には $V = R I$ 、電池側では $V = E - r I$ 。2 つは同じ電圧だから

$R I = E - r I ⟹ (R + r) I = E$

と、公式 $I = E / (R + r)$ が自分で導ける。導出まで押さえておくと、抵抗が 2 個ある回路や電池 2 個の回路でも同じ考えで式が立つ。