水に浮かぶ木片

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 完全に沈んでいる場合と違い、浮かんでいるときは沈んでいる体積 $V^{\prime }$ が未知数になる。手がかりは「静止」— つまり浮力と重力のつり合いだ。

① 浮力の大きさ。

木片の質量は $0.60\times 10^3\times 1.0\times 10^{-3}=0.60\mathrm{kg}$。浮かんで静止しているから

$$F=mg=0.60\times 9.8=5.88\mathrm{N}$$

② 沈んでいる割合。

浮力の式 $F={\rho }_{\text{水}}{V}^{\prime }g$ から

$$V^{\prime }=\frac{5.88}{1.0\times 10^3\times 9.8}=0.60\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$$

全体積 $1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ に対して

$$\frac{0.60\times 10^{-3}}{1.0\times 10^{-3}}=0.60=60\%$$

まとめ 計算の結果をよく見ると、沈む割合 $=\frac{\text{物体の密度}}{\text{水の密度}}$ になっている。密度 $0.60$ 倍の木は $60\%$ 沈む。氷(密度約 $0.92\times 10^3$)が水面下に約 $9$ 割隠れる「氷山の一角」も、この比の式そのものだ。

別解

密度の比で即答するルート(得意な人向け)。 つり合いの式を文字で書くと

$${\rho }_{\text{水}}{V}^{\prime }g={\rho }_{\text{木}}Vg⟹\frac{V^{\prime }}{V}=\frac{{\rho }_{\text{木}}}{{\rho }_{\text{水}}}$$

$g$ も体積の絶対値も消えて、沈む割合=密度の比が一般法則として出る。$0.60÷1.0=60\%$。(1)の数値計算より先にこの構造をつかめば、どんな数値でも一瞬で答えられる。