物理基礎 / 力と運動の法則

空気抵抗と終端速度

★★ 標準空気抵抗終端速度運動方程式

問題

質量 $0.50 kg$ の物体が空気中を落下している。物体には速さ $v$ に比例した空気抵抗 $R = k v$ ( $k = 0.49 N \cdot s/m$ )が上向きにはたらく。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 落下を始めた直後( $v = 0$ )の加速度の大きさを求めよ。

(2) やがて速さが一定になった。この速さ(終端速度)を求めよ。

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「速さが一定になった」を加速度のことばに言いかえると何になるか。そのとき重力と空気抵抗はどんな関係だろう。

解答・解説

落下中の運動方程式は ma=mg−kv。v=0 なら抵抗ゼロで a=g。速さ一定=加速度 0 とおけば終端速度が出る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 速く落ちるほど空気抵抗が強くなる。するとやがて重力とつり合って、それ以上速くなれなくなる — これが終端速度の仕組みだ。

「一定の速さになった」は「加速度が $0$ になった」と翻訳する。

① 落下直後。

下向きを正として、運動方程式は

$ma = m g - k v$

$v = 0$ では抵抗がないから

$a = g = 9.8 m/ s^{2}$

② 終端速度。

速さ一定 → $a = 0$ とおく。

$0 = m g - k v_{t} ⟹ v_{t} = \frac{m g}{k} = \frac{0.50 \times 9.8}{0.49} = 10 m/s$

落下の v-tグラフ。傾き g で始まり、終端速度 10 m/s に近づいていく

まとめ v-tグラフは、はじめ傾き $g$ で立ち上がり、だんだん寝てきて $v_{t} = 10 m/s$ に吸い寄せられる曲線になる。雨粒が地上で危険な速さにならないのは、この終端速度のおかげだ(小さな雨粒なら数 m/s 程度)。

発展 — 一歩先へ。 スカイダイバーは体勢で $k$ を変えられる。体を広げれば $k$ が大きくなり終端速度が下がる( $v_{t} = m g / k$ で $k$ が分母)。パラシュートは $k$ を一気に大きくして $v_{t}$ を着地できる速さまで下げる道具、と読める。

答

(1) $9.8 m/ s^{2}$ (2) $10 m/s$

力の勝ち負けの推移で見るルート(苦手な人向け)。 落下開始時: 重力 $4.9 N$ 対抵抗 $0$ — 重力の圧勝で加速。

$v = 5.0 m/s$ のとき: 抵抗 $0.49 \times 5.0 = 2.45 N$ — まだ重力が勝つが差は半分。

$v = 10 m/s$ : 抵抗 $4.9 N$ — 引き分け。合力 $0$ で、もう速くならない。

速くなるほど「勝ち幅」が縮んでいき、引き分けの速さで落ち着く。終端速度は力の引き分け点だ。