物理基礎 / 力と運動の法則

摩擦のある斜面をすべり降りる

★★ 標準斜面動摩擦力運動方程式

問題

傾きが $sin θ = 0.60$ 、 $cos θ = 0.80$ の斜面上を、質量 $2.0 kg$ の物体がすべり降りている。物体と斜面の間の動摩擦係数を $0.25$ 、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。物体の加速度の大きさを求めよ。

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手順は 3 つ。垂直方向のつり合いで N を出す → 動摩擦力 μ'N を出す → 斜面方向の運動方程式。摩擦力の向きは運動と逆(斜面上向き)。

解答・解説

方針

垂直方向のつり合いから N=mg cosθ、動摩擦力は μ'N。斜面方向の運動方程式 ma=mg sinθ−μ'mg cosθ を立てる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 摩擦つき斜面は、力学の手順が全部詰まった総合演習だ。垂直方向のつり合い → 摩擦力 → 平行方向の運動方程式の 3 ステップを機械的に踏む。

① 垂直方向のつり合いで N。

$N = m g cos θ = 2.0 \times 9.8 \times 0.80 = 15.68 N$

② 動摩擦力。

すべり降りているので、摩擦は斜面上向き。

$f^{'} = μ^{'} N = 0.25 \times 15.68 = 3.92 N$

③ 斜面方向の運動方程式。

斜面下向きを正として

$2.0 \times a = m g sin θ - f^{'} = 2.0 \times 9.8 \times 0.60 - 3.92 = 11.76 - 3.92 = 7.84$

$a = 3.92 m/ s^{2}$

すべり降りる物体。動摩擦力は運動と逆(斜面上向き)。a=g(sinθ−μ'cosθ)

まとめ 文字のまま整理すると $a = g (sin θ - μ^{'} cos θ)$ 。ここでも質量が消える。かっこの中が正かどうか、つまり $tan θ$ と $μ^{'}$ の大小が「加速しながら降りるか、減速して止まるか」を分ける — 摩擦角の考え方(応用問題)への入り口になっている。

答

$3.92 m/ s^{2}$

別解

文字式を先に作るルート(得意な人向け)。 数値を入れる前に

$a = g (sin θ - μ^{'} cos θ)$

まで文字で整理してしまう。代入は最後に 1 回だけ:

$a = 9.8 \times (0.60 - 0.25 \times 0.80) = 9.8 \times 0.40 = 3.92 m/ s^{2}$

途中の $N$ や $f^{'}$ の数値を経由しないので計算が短く、 $θ$ や $μ^{'}$ を変えた再計算も一瞬で済む。文字で組んでから代入する習慣は、この先の物理全体で効いてくる。

ポイント

手順: 垂直つり合い → μ'N → 平行の運動方程式
a=g(sinθ−μ'cosθ)(質量によらない)
摩擦力の向きは運動と逆(降下中は斜面上向き)

よくある間違い

N=mg として摩擦力を 4.9 N にしてしまう(斜面では N=mg cosθ)
摩擦力を斜面下向きに足して a=7.84 m/s² とする(すべり降りる物体への動摩擦は上向き)
sin と cos の取り違え(θ=0 で a=−μ'g<0 は変、と気づけるか)