物理基礎 / 力と運動の法則

なめらかな斜面をすべり降りる

★★ 標準斜面運動方程式等加速度直線運動

問題

傾きの角が $3 0^{\circ}$ のなめらかな斜面の上端で、物体を静かに放した。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 物体の加速度の大きさを求めよ。

(2) 放してから $2.0 s$ 後の速さと、その間に斜面に沿って進む距離を求めよ。

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斜面に平行な方向の力は重力の平行成分だけ。加速度が出たら、あとは初速度 0 の等加速度直線運動として前単元の公式が使える。

解答・解説

方針

斜面方向の力は mg sinθ のみ。運動方程式で a=g sinθ を出し、等加速度の公式(v=at、x=½at²)へつなぐ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なめらかな斜面のすべり降りは「弱められた自由落下」だ。斜面方向にはたらく力は $m g sin θ$ だけなので、加速度は $g sin θ$ — 自由落下の $g$ が $sin θ$ 倍に薄まる。

① 運動方程式で加速度。

なめらかな斜面上では、重力の平行成分だけが物体を加速する

斜面下向きを正として

$ma = m g sin 3 0^{\circ} ⟹ a = 9.8 \times 0.50 = 4.9 m/ s^{2}$

質量が消えることに注目(どんな質量でも同じ加速度)。

② 等加速度の公式へ。

初速度 $0$ の等加速度直線運動として

$v = a t = 4.9 \times 2.0 = 9.8 m/s$

$x = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} \times 4.9 \times 4.0 = 9.8 m$

まとめ $a = g sin θ$ は両端の検算が効く。 $θ = 9 0^{\circ}$ (垂直)なら $a = g$ で自由落下、 $θ = 0$ (水平)なら $a = 0$ で動かない。斜面はこの 2 つの間を $sin θ$ でつなぐ装置だ。ガリレイが落体の法則を斜面の実験で調べたのは、まさに「重力を薄めてゆっくり観察する」ためだった。

答

(1) $4.9 m/ s^{2}$ (2) 速さ $9.8 m/s$ 、距離 $9.8 m$

別解

自由落下との比率で見るルート(苦手な人向け)。 $3 0^{\circ}$ の斜面では、加速度が自由落下のちょうど半分( $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ )。

だから前単元の自由落下( $t = 2.0 s$ で $v = 19.6 m/s$ 、 $y = 19.6 m$ )のすべてを半分にすればよい: $v = 9.8 m/s$ 、 $x = 9.8 m$ 。既に解いた問題との比例関係に気づくと、計算を再利用できる。

ポイント

なめらかな斜面: a=g sinθ(質量によらない)
力の単元と運動の単元の接続(a を出してから公式へ)
θ=0°と 90°の極端な場合で検算

よくある間違い

a=g cos30° とする(すべり落とすのは平行成分=sin 側)
垂直抗力 mg cosθ を斜面方向の式に混ぜる(垂直方向はつり合っていて運動に関与しない)
距離の計算で ½ を忘れて 19.6 m とする