動き出す条件と動き出した後

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 摩擦の問題は「静止中」と「滑走中」でルールが切り替わる。

静止中: 摩擦力は必要な分だけ(上限 ${\mu }_{0}N$)。滑走中: 摩擦力は ${\mu }^{\prime }N$ で一定。この切り替えを意識して、段階ごとに処理する。

① 動くかどうかの判定。

$N=mg=39.2\mathrm{N}$ より、最大摩擦力は

$$f_{\max }=0.50\times 39.2=19.6\mathrm{N}$$

押す力 $15\mathrm{N}<19.6\mathrm{N}$ なので動かない。静止中の摩擦力はつり合う分だけだから $f=15\mathrm{N}$。

② 動き出す直前。

摩擦力が上限に達した瞬間に動き出す。

$$F=f_{\max }=19.6\mathrm{N}$$

③ 動き出した後。

摩擦は動摩擦に切り替わり $f^{\prime }=0.25\times 39.2=9.8\mathrm{N}$。運動方程式は

$$4.0a=19.6-9.8=9.8⟹a=2.45m/{\mathrm{s}}^2$$

まとめ 同じ $19.6\mathrm{N}$ で押していても、動き出す直前は加速度 $0$、動き出した瞬間から $2.45m/{\mathrm{s}}^2$。動き出すと摩擦が μ₀N から μ'N へ下がる(ふつう ${\mu }^{\prime }<{\mu }_0$)ため、急に軽くなる。重い家具を押すとき、動き出しがいちばん大変で動き出せば楽になる、あの体感の正体だ。

別解

摩擦力のグラフで全体を見るルート(得意な人向け)。 横軸に押す力 $F$、縦軸に摩擦力 $f$ をとると、$f$ は $F$ と等しく増える 45° の直線($f=F$)をたどり、$19.6\mathrm{N}$ で頭打ち、動き出すと $9.8\mathrm{N}$ へ段差で落ちる。

この 1 枚のグラフに(1)(2)(3)が全部載っている。(1)は直線上の点、(2)は頭打ちの角、(3)は段差の後で $F-f^{\prime }=19.6-9.8$ が加速に回る。摩擦の問題で迷ったら、このグラフを描いて自分がどの区間にいるか確かめるとよい。