定滑車でつながれた2物体

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 滑車の問題も連結体。ただし 2 物体の動く向きが違うので、それぞれの「進む向き」を正にして式を立てるのがコツだ。糸がたるまない限り、加速度の大きさ $a$ と張力 $T$ は共通になる。

① 各物体の運動方程式。

A(下がる向きを正): 重力が引き、張力が引き戻す。

$$3.0a=3.0\times 9.8-T$$

B(上がる向きを正): 張力が引き上げ、重力が引き戻す。

$$1.0a=T-1.0\times 9.8$$

② 連立を解く。

2 式を足すと $T$ が消えて

$$4.0a=(3.0-1.0)\times 9.8=19.6⟹a=4.9m/{\mathrm{s}}^2$$

B の式に戻して

$$T=1.0\times (9.8+4.9)=14.7\mathrm{N}$$

まとめ 足し算で $T$ が消えるのは、張力が内部の力だから(連結体と同じ構造)。結果の式 $a=\frac{(m_A-m_B)g}{m_A+m_B}$ は「重さの差が全体を動かす」と読める。また $T=14.7\mathrm{N}$ は A の重さ $29.4$ と B の重さ $9.8$ の間の値になっている — A を支えきれず、B は引き上げられる、という状況に合った値だ。

別解

まっすぐ伸ばして 1 本の運動と見るルート(得意な人向け)。 滑車は向きを変えるだけなので、糸をまっすぐ伸ばした 1 直線の系だと思ってよい。

全体の質量 $4.0\mathrm{kg}$ を動かす正味の力は、A 側に引く $29.4\mathrm{N}$ と B 側に引き戻す $9.8\mathrm{N}$ の差 $19.6\mathrm{N}$。

$$a=\frac{19.6}{4.0}=4.9m/{\mathrm{s}}^2$$

張力は「B を持ち上げる係」だから B だけの式で $T=1.0\times (9.8+4.9)=14.7\mathrm{N}$。連立を組まずに 2 行で終わる。